第 4 课 曲线与方程一、学习要求1.了解曲线与方程的意；2.掌握求简单曲线方程的步骤；3.能运用“直接法”、“相关点法（转移法）”求简单曲线方程。二、先学后讲1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间满足如下关系：① 曲线上任意一点的坐标都是方程的解；② 以方程的解为坐标的点都在曲线上，则曲线叫做方程的曲线，方程叫做曲线的方程。例如：如图，在直角坐标系中，圆心在原点，半径为 2 的圆上任意一点满足的几何条件是： 设，根据两点间的距离公式，得 ，即。也就是说，方程就是圆上任意一点的坐标满足的条件；另一方面，可以验证，以方程的解为坐标的点都在圆上。这时，我们把方程叫做圆的直角坐标方程，圆上叫做方程的曲线。2．求曲线方程的常用方法 【方法一】直接法： 第一步：建立适当的直角坐标系（如果题目有坐标系，则利用已有的坐标系），并设动点的坐标为；第二步：写出动点坐标所满足的条件（等式）；第三步：用坐标表示动点所满足的关系式，列出方程；第四步：化方程为最简形式；1M(x, y) x2+y2=4yx-22O-22第五步：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。（这一步可以省略，但在化简过程中要注意是否产生了增根或丢根现象，做到多去少补。）【方法二】相关点法（转移法） ：如果动点随着已知曲线上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入已知曲线的方程，即得动点的方程。第一步：建立适当的直角坐标系，并设要求轨迹的动点的坐标为，已知曲线上的动点的坐标为；第二步：根据动点所满足的条件，写出与的关系式，并用来表示（即写出等式，）；第三步：把含的点的坐标代入已知的曲线方程，得到关于动点的坐标的方程；第四步：化方程为最简形式。三、问题探究■合作探究例 1．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程。解：设动点，。 ，点为线段的中点，∴，，∴，，2第一步：设动点坐标第二步：写出动点的坐标与已知曲线上的动点的坐标的关系式；并用来表示 点在圆上，∴∴，整理得，所求线段的中点的轨迹方程为，即。∴点的轨迹是以为圆心，半径长是 1 的圆。■自主探究1．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹。解：设动点，。 ，点为线段的中点，∴，， ∴，， 点在圆上， ∴∴，整理得，所求线段的中点的轨迹方程为。∴点的轨迹是以为圆心，半径长是 1 的圆。四、总结提升3第三步：把已知曲线上的动点的坐...
