第一章 相似三角形定理与圆幂定理[对应学生用书 P32][对应学生用书 P32]证明四点共圆问题证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D 四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；1②∠BAD＋∠BCD＝180°；③∠FAD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.[例 1] 已知四边形 ABCD 为平行四边形，过点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F，求证：C、D、E、F 四点共圆．[证明] 连接 EF，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形 ABFE 内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以 C、D、E、F 四点共圆．[例 2] 已知：如图，四边形 ABCD 中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D 四点共圆．[证明] 由 A、B、D 三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点 C 在⊙O 的外部(如图)．与圆相交于点 E， ∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾，故点 C 不可能在圆外．(2)如果点 C 在⊙O 的内部(如图)．延长 BC 与圆相交于点 E，连接 AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB 矛盾，∴点 C 不可能在圆内，∴点 C 只能在圆上.证明线段等积式常用的方法证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论；(2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件；(4)用综合法有条理地写出证明过程；(5)检查证明过程的合理性．21．利用相似三角形[例 3] 如图，⊙O 和⊙O′相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连结 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.[证明] (1)由 AC 与⊙O′相切于 A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即 AC·BD＝AD·AB.(2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即 AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，得 AC＝AE.2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例 4] 已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上，CA 切圆 O 于 A点，DC 是∠ACB 的平分线交 AE 于点 F，交 AB 于 D 点．(1)求∠ADF 的度数；(2)若 AB＝AC，求 AC∶BC.[解] (1) AC 为圆 O 的切线，∴∠B＝∠EAC.又 DC 是∠ACB 的平分线，∴∠...
