第 2 课时 基本不等式的应用关键能力·攻重难题型探究题型一 利用基本不等式求参数范围例 1 设 a>b>c，且＋≥恒成立，求 m 的取值范围．[解析] 由 a>b>c，得 a－b>0，b－c>0，a－c>0.∴原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于 m 即可． ＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即 2b＝a＋c 时，等号成立，∴m≤4，即 m 的取值范围为{m|m≤4}．[归纳提升] 1.恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若 a≤y 恒成立，则 a≤ymin；若a≥y 恒成立，则 a≥ymax.将问题转化为求 y 的最值问题，可能会用到基本不等式．2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．【对点练习】❶ 若对任意 x>0，≤a 恒成立，则 a 的取值范围是____.[解析] 因为 x>0，所以 x＋≥2，当且仅当 x＝1 时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故 a≥.题型二 基本不等式的实际应用例 2 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[分析] (1)已知 a＋b 为定值，可用基本不等式求 ab 的最大值．(2)已知 ab 为定值，可用基本不等式求 a＋b 的最小值．[解析] (1)设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.方法一：由于 2x＋3y≥2＝2，所以 2≤18，得 xy≤，即 S≤，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由解得故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－y.因为 x>0，所以 9－y>0，所以 00，所以 S≤·[]2＝.当且仅当 6－y＝y 即 y＝3 时等号成立，此时 x＝4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知 S＝xy＝24.设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y.方法一：因为 2x＋3y≥2＝2＝24，所以 l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由解得故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二：由 xy＝24，得 x＝.所以 l＝4x＋6y＝＋...
