余式定理1 公式整系数多项式 f（x)除以(x—a)商为 q（x)，余式为 r，则 f（x)=(x—a)q(x)+r。假如多项式 r=0，那么多项式 f（x）必定含有因式(x—a）。反过来，假如 f(x)含有因式(x—a），那么，r=0。2 概念当一个多项式 f(x） 除以(x – a) 时， 所得的余数等于 f(a).例如：当 f(x)=x^2+x+2 除以 （x – 1) 时，则余数=f（1）=1^2+1+2=4。3 推论当一个多项式 f(x) 除以 （mx – n) 时，所得的余数 等于 f（n/m)。例如：求当 9x^2+6x–7 除以 （3x + 1） 时所得的余数.设 f（x） = 9x^2 + 6x – 7，则余数 f(—1/3)=1–2–7=-8.4 例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设 f（x)以（x—1)除之，余式为 8,以（x²+x+1)除之的余式为（7x+16),求（x^3—1)除之的余式为多少?解：根据题意，得 f（1）=8，f（x)=(x^2+x+1)g(x）+7x+16。因为 x^3—1=（x-1）（x^2+x+1）所以 f(x)=（x-1)（x^2+x+1)g(x）+a（x^2+x+1）+7x+16 （其中 a（x2+x+1)+7x+16 为余式）又 f(1)=8所以 f(1)=3a+7+16=8所以 a=—5,因此余式为—5x^2+2x+11因式定理1 定义为余式定理的推论之一：假如多项式 f（a）=0,那么多项式 f（x）必定含有因式 x—a。反过来,假如 f（x）含有因式 x—a，那么，f（a）=0.2 例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。认真观察不难发现，当 x=y 时,原式的值为 0。 根据因式定理可知：原式必有因式 x-y 同样的,可以得到原式必有因式 y-z 和 z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到)然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3 意义熟 练 掌 握 因 式 定 理 后 ， 可 以 运 用 试 根 法 （ 结 合 因 式 定 理 ) 找 到 因 式 （ 大 多 试±1 ， ±2 ， ±3,± ½ ) ，再用待定系数法（结合赋值法)求出待定系数,或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。同时，将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解,也可以用来推断能否进行因式分解。4 多项式的因式分解因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果,这些问题基本上是等价的。若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：先设法找出多项式的一个...
