高中数学奥林匹克竞赛讲座 08几何变换

竞赛专题讲座 08－几何变换【竞赛知识点拨】一、 平移变换1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X‘，使得=，则 T 叫做沿有向线段的平移变换。记为 XX’，图形 FF‘ 。2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、 轴对称变换1． 定义 设 l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点X 变到 X’，使得 X 与 X‘关于直线 l 对称，则 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形 FF‘ 。2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、 旋转变换1． 定义 设 α 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点 O 仍变到O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X’，使得 OX‘=OX，且∠XOX’=α，则 R叫做绕中心 O，旋转角为 α 的旋转变换。记为 XX‘，图形 FF’ 。其中 α<0 时，表示∠XOX‘的始边 OX 到终边 OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0 时，为逆时针方向。2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、 位似变换11． 定义 设 O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到X‘，使得 =k·，则 H 叫做以 O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。记为 XX’，图形 FF‘ 。其中 k>0 时，X’在射线 OX 上，此时的位似变换叫做外位似；k<0 时, X‘在射线 OX 的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例 1】P 是平行四边形 ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB。求证：∠PBA=∠PDA。【分析】作变换△ABP△DCP’，则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由 PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB 都是平行四边形...