课时作业51椭圆及其几何性质一、选择题1．(2019·北京卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(B)A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b解析：由题意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故选B.2．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为(B)A.B.C.D.解析：由题图知2b＝16.4,2a＝20.5，则＝，则离心率e＝＝.故选B.3．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(AD)A．若C为椭圆，则13或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则13，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2b>0)和直线l：＋＝1，若过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A.B.C.D.解析：因为直线l的斜率为－，且过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与直线l平行，所以＝.又b2＋c2＝a2，即2＋c2＝a2，即c2＝a2，所以离心率e＝＝.故选A.5．已知P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2面积为(A)A．3B．2C.D.解析：方法1：由椭圆的标准方程可得a＝5，b＝3，∴c＝4.设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，由椭圆的定义可得t1＋t2＝10①. 在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，∴根据余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64，整理可得t＋t－t1t2＝64②.把①两边平方得t＋t＋2t1t2＝100③，由③－②得t1t2＝12，∴S△F1PF2＝t1t2·sin∠F1PF2＝3.故选A.方法2：由于椭圆焦点三角形的面积公式为S＝b2tan，故所求面积为9tan30°＝3.故选A.6．已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，则椭圆C的离心率为(B)A.B.C.D.解析： 点P到椭圆C的焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.又的最大值为3，∴＝3，∴椭圆C的离心率e＝.故选B.7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2,0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为(A)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由左焦点为F1(－2,0)，可得a2－b2＝4，过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1.由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，可得2＝b，解得b＝2，a＝2，则椭圆方程为＋＝1.故选A.8．(多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(AB)A．a1＋c1>2(a2＋c2)B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁解析：由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－a－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1－e2＝－＝＝>0，即e1>e2，则椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以D错误，故选AB.二、填空题9．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝.解析：F1(－，0)， PF1⊥x轴，∴P，∴|PF1|＝，∴|PF2|＝4－＝.10．(多填题)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则|MF2|＝4，M的坐标为(3，)．解析：根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．11．已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率...
