考点过关检测（二十二）1．(2019·豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1解析：选A依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1，故选A.2．(2019·菏泽期末)已知等边△AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y2＝2px(p>0)上，且△AOB的面积为9，则p＝()A.B．3C.D．2解析：选C根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A，B两点关于x轴对称，不妨设直线OB：y＝x，与y2＝2px联立，解得B(6p,2p)，故|OB|＝4p.因为△AOB的面积为9，所以×(4p)2＝9，解得p＝.故选C.3．若圆x2＋y2－3x－4y－5＝0关于直线ax－by＝0(a>0，b>0)对称，则双曲线－＝1的离心率为()A.B.C.D.解析：选C圆的圆心为，满足题意时，直线过圆心，即a－2b＝0，∴＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝.4．(2019·青岛二模)若直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：选A根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1.5．(2019·海珠模拟)双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于()A．4B.C．2D．4解析：选D设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，所以双曲线E的一个顶点为(2,0)，即a＝2.又因为离心率e＝＝＝2，所以c＝4.因此b＝＝2，虚轴长等于2b＝4，故选D.6．(2019·唐山一模)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：选D因为双曲线的离心率e＝＝＝2，所以b2＝3a2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.又抛物线的焦点为，故焦点到渐近线的距离d＝＝＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.7．(2019·桂林期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又因为点F(－1,0)，所以OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(OP·FP)max＝6.8．(2019·通化三模)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B依题意，知b＝2，kc＝2.设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，解得d2≤.又因为d＝，所以≤.因为e2＝＝＝，所以00)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是________(填序号)．①△ABF是等边三角形；②|BF|＝3；③点F到准线的距离为3；④抛物线C的方程为y2＝6x.解析：∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.答案：①③④11．(2019·泉州期末)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S＝S＋λS成立．则双曲线的离心率为________，λ的值为________．解析：由F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S＝|PF1|·r，S＝|PF2|·r，S＝·2c·r＝cr，由S＝S＋λS得，|PF1|·r＝|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.答案：
