一、填空题（每小题4分，共20分）1．直线L过点(1,0,−1)，且与平面x+2y+z−12=0垂直，则该直线的方程是．2．设曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z−1=0，则点P的坐标是．3．设D：0≤x≤1,0≤y≤2，f(x,y)在D上连续，且f(x,y)=xy+∬Df(x,y)dσ，则f(x,y)=．4．设曲线L：x2+y2=1上任意一点处的质量密度ρ(x,y)=(x+y)2，则该曲线构件的质量M=．5．幂级数∑n=0∞xn3n在(−3,3)上的和函数s(x)=．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设a={2,0,−1}，b={0,1,1}，则与向量a，b同时垂直的单位向量为（）．A.±{1,−2,2};B.±13{1,2,2};C.±13{1,−2,2};D.±13{1,2,−2}.2．设f(uv,u+v)=u2+v2，则f(x,y)=（）．A.x2+2y;B.x2−2y;C.y2+2x;D.y2−2x．3．二元函数f(x,y)=2x−4y−x2−2y2的驻点是（）．A.(−1,−1);B.(1,−1);C.(−1,1);D.(1,1)4．改变二次积分的积分次序：∫01dy∫y21f(x,y)dx=（）．A.∫01dx∫0√xf(x,y)dy;B.∫01dx∫0x2f(x,y)dy;C.∫01dx∫√x1f(x,y)dy;D.∫01dx∫x21f(x,y)dy.5．若(axy−y2)dx+(x2+bxy)dy=0为全微分方程，则（）．A.a=−2,b=−2;B.a=2,b=2;C.a=−2,b=2;D.a=2,b=−2.三、（6分）设ez−xyz=0，求dz.四、（7分）计算曲线积分∫Γezds，其中Γ为螺旋线x=cost,y=sint,z=t(0≤t≤2π)的一段.五、（7分）计算曲线积分∫L(eycosx−y)dx+(eysinx+x)dy，其中L为x2+y2=1的上半部分，从A(1,0)到B(−1,0).六、（8分）计算曲面积分∬ΣzdS，其中Σ为圆锥面z=√x2+y2(0≤z≤1)．七、（8分）计算曲面积分∯∑¿2xydydz−y2dzdx+z2dxdy¿,其中∑¿¿为圆柱面x2+y2=1与平面z=0,z=a(a>0)所围立体的全表面外侧．八、（8分）判定级数∑n=1∞(−1)n−1(√n+1−√n)是否收敛?如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?九、（8分）求幂级数∑n=1∞(n!)2xn(2n−1)!的收敛区间.十、（8分）将函数f(x)=xe2x+1展开为x的幂级数，指出收敛区间.十一、（5分）试利用级数理论证明：当n→∞时，1nn是12nn!的高阶无穷小.附加1.（6分）设Σ为椭球面x2+y2+2z2=1的上半部分，d(x,y,z)是原点到Σ上任意一点M(x,y,z)处的切平面的距离，求∬Σz2d(x,y,z)dS.附加2.（6分）设{an}为等差数列，（1）求幂级数∑n=0∞anxn的和函数s(x)；（2）试证明∑n=0∞an2n=2a1.
