导数解答题练习1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞exex21成立．2、已知函数2()ln2(0)fxaxax.（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x都有f(x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g(x)=f(x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g(x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3、设函数f(x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f(x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f(x)在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f(x)的极值点.4、已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得12()()fxgx，求a的取值范围.5、已知函数1ln()xfxx．(1)若函数在区间1(,)2aa(其中0a)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当1x时，不等式()1kfxx恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(xgxfx恒成立，即2ln2xaxxx恒成立.也就是xxalnx2在),0(x恒成立.⋯⋯⋯1分令xxxxF2ln)(，则F2222)1)(2(2211)(xxxxxxxxx，⋯⋯2分在)10(，上F0)(x，在)1(，上F0)(x，因此，)(xF在1x处取极小值，也是最小值，即3)1()(minFxF，所以3a.⋯⋯4分(Ⅱ)当时，1axxxxfln)(，f2ln)(xx，由f0)(x得21ex.⋯⋯⋯6分①当210em时，在)1,[2emx上f0)(x，在]3,1(2mex上f0)(x因此，)(xf在21ex处取得极小值，也是最小值.2min1)(exf.由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(mmmfmf因此，]1)3)[ln(3()3()(maxmmmfxf⋯⋯⋯8分②当时21em，0)('xf，因此]3,[)(mmxf在上单调递增，所以)1(ln)()(minmmmfxf，]1)3)[ln(3()3()(maxmmmfxf⋯⋯9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2lnxeexxxxx,⋯⋯⋯10分由(Ⅱ)知1a时，xxxxfln)(的最小值是21e，当且仅当21ex时取得，⋯⋯11分设)),0((2)(xeexxGx，则Gxexx1)(，易知eGxG1)1()(max，当且仅当1x时取到，⋯⋯⋯12分但，ee112从而可知对一切(0,)x，都有exexx211ln成立.⋯⋯⋯13分2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f(x)的定义域为（0，+∞），因为22'()afxxx，所以22'(1)111af，所以a=1.所以2()ln2fxxx.22'()xfxx.由'()0fx解得x＞0；由'()0fx解得0＜x＜2.所以f(x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.⋯⋯4分（Ⅱ）2222'()aaxfxxxx，由'()0fx解得2xa；由'()0fx解得20xa.所以f(x)在区间2(,)a上单调递增，在区间2(0,)a上单调递减.所以当2xa时，函数f(x)取得最小值，min2()yfa.因为对于(0,)x都有()2(1)fxa成立，所以2()2(1)faa即可.则22ln22(1)2aaaa.由2lnaaa解得20ea.所以a的取值范围是2(0,)e.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）依题得2()ln2gxxxbx，则222'()xxgxx.由'()0gx解得x＞1；由'()0gx解得0＜x＜1.所以函数()gx在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()gx在区间[e－1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0gegeg.解得21e1eb.所以b的取值范围是2(1,e1]e.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分3．解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分因为1'()20fxxx，所以f(x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f(x)取得最小值f(1)=1.所以f(x)在[1，e]上的最小值为1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()xaxfxxaxx设g(x)=2x2―2ax+1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g(x)＞0成立.⋯⋯5分注意到抛物线g(x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g(2)＞0，或1()02g即可⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由g(2)＞0，即8―4a+1＞0，得94a，由1()02g，即1102a，得32a，所以94a，所以实数a的取值范围是9(,)4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分解法二：21221'()2()xaxfxxaxx，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以12(2)axx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分设1()2gxxx，所以2a小于函数g(x)在区间1[,2]2的最大值.又因为1'()2gxx，由21'()20gxx解得22x；由21'()20gxx解得202x.所以函数g(x)在区间2(,2...
