投资的收益和风险问题线性规划分析1问题的提出市场上有n种资产（如股票、债券、⋯）Si（i＝1，⋯，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资.公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi.考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量.购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）.另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险.（r0＝5％）已知n＝4时的相关数据如下：n的相关数据Siri(％)qi(％)pi(％)ui(元)S1282.51.0103S2211.52.0198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小.2模型的建立模型1.总体风险用所投资Si中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是k，即要求总体风险Q(x)限制在风险k以内：Q(x)≤k则模型可转化为：maxs.t.?,,0RxQxkFxMx＝模型2.假设投资的盈利水平是h，即要求净收益总额R（x）不少于h：R（x）≥h，则模型可转化为：mins.t.0QxRxhFxMx＝模型3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重.因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：min?1?s.t.0QxRxFxMx（）＝3.模型的化简与求解由于交易费ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解.但注意到总投资额M相当大，一旦投资资产Si，其投资额xi一般都会超过ui，于是交易费ci(xi)可简化为线性函数.iiiicxpx从而，资金约束简化为00()()(1)nniiiiiiFfxpxMx净收益总额简化为000()()[()]()nnniiiiiiiiiiiiRRxrxcxrpxx在实际进行计算时，可设M=1，此时101iiiypxin（）（＝，，，）可视作投资Si的比例.以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1）模型1的求解模型1的约束条件Q(x)≤k即00()max()max()iiiiininQQxqxxk，所以此约束条件可转化为01iiqxkin（＝，，，）这时模型1可化简为如下的线性规划问题：00max()s.t.,=1,2,,(1)1,0niiiiiiniiirpxqxkinpxLx具体到n=4的情形，按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据，模型为：Max0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t.0.025x1≤k，0.015x2≤k，0.055x3≤k，0.026x4≤k，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi≥0（i＝0，1，⋯，4）利用MATLAB7.0求解模型1，以k=0.005为例：输出结果是{0.177638,{x0→0.158192,x1→0.2,x2→0.333333,x3→0.0909091,x4→0.192308}}这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过0.005的最大收益是0.177638M.当k取不同的值（0—0.03），风险与收益的关系见下图：模型1风险与收益的关系图输出结果列表如下：模型1的结果风险k净收益Rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.6632770.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.07272730.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.25176500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.02980390000.0050.010.0150.020.0250.050.10.150.20.250.3风险a收益0.0260.26732700.9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000从表3.2中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2，然后是S1和S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（ri–pi）较大的S1和S2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．2）模型2的求解模型2本来是极小极大规划：0minmax()iiinqxs.t.0()niiiirpxh...
