(中小学精品）数学归纳法课件VIP免费

2.3数学归纳法(1)对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛完全归纳法不完全归纳法由特殊一般特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(nN*)∈二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。111证明：1）当n=1式，a=a+(1-1)d=a,结论成立k1k+1kk+1111n12)假设n=k式结论成立，即a=a+(k-1)d∵a=a+d∴a=a+(k-1)d+d=a+kd=a+[(k+1)-1]d综合1）、2）知a=a+(n-1)d成立.所以n=k+1时结论也成立那么nn1例：已知数列{a}为等差，公差为d,:通项公式为a=a+(n-1)d求证nn-1n1已知数列{a}为等为q,求证:通项：公式为a=aqnn-1练习比数列，公比（提示：a=qa）注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知，对n∈N，原等式都成立。例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N）.请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？（k+1)[1+(2k+1)]2例:用数学归纳法证明2222n(n+1)(2n+1)1+2+3++n=6注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)••••证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2•，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2n-1),••••当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k13…(2k-1)(2k+1)2•••••=2k+113…(2k-1)[2(k+1)-1]=•••••右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。（2k+1)(2k+2)k+1作业:P108A组1(2)B组3