第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程(第3课时)学习目标1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据几何图形的周长、面积,通过建立一元二次方程来解决问题,会检验所得结果是否合理.3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程进行描述.学习过程一、设计问题,创设情境问题1:如图,是长方形养鸡场的平面示意图,一边靠墙(墙的长度不限),另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形养鸡场的长、宽分别是多少米?问题2:如图,用长为18m的篱笆,两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?二、信息交流,揭示规律前面我们知道了用一元二次方程这个数学模型来解决实际问题,比如“传染问题”“增长率问题”,通过前面的两个小题,我们还知道,几何图形的面积问题也可以用建立一元二次方程的方式来解决,下面我们一起来进行探究活动:探究:要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?1.学生小组讨论分析过程:封面的长宽之比为,中央矩形的长宽之比也应是,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是.设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为cm,宽为cm.2.尝试写出解题过程.3.学生思考:方程的哪个根符合实际意义?为什么?4.小组讨论:如果换一种设未知数的方法,是否可以更简单地解决上面的问题?请你试一试.三、运用规律,解决问题问题:某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少时,使图(1)(2)的草坪面积为540平方米.注意:我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路).图(2)解法二:设路宽为x米,则草坪的长为米,草坪的宽为米,根据题意得.四、变式训练,深化提高1.用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形?若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.2.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度是多少?(精确到0.1cm)五、反思小结,观点提炼通过本节课的学习:我学会了……使我感触最深的是……我还感到疑惑的是……参考答案一、设计问题,创设情境问题1:解:设篱笆的宽为xm,则长为(35-2x)m,根据题意,可得方程:x(35-2x)=150,解得:x1=10,x2=7.5.当x=10时,(35-2x)=15;当x=7.5时,(35-2x)=20.答:篱笆的长和宽分别是10米,15米或分别是7.5米,20米.问题2:解:设篱笆的一边长xm,根据题意,可得方程:x(18-x)=81,解得:x1=x2=9.答:篱笆的长和宽都是9米.二、信息交流,揭示规律1.9∶79∶79∶7(27-18x)(21-14x)2.解:设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,根据题意列方程得:(27-18x)(21-14x)=34×27×21,整理得:16x2-48x+9=0,解方程得:x=6±3❑√34.x1=6+3❑√34≈2.799,x2=6-3❑√34≈0.201.3.x2更合乎实际意义,如果取x1≈2.799,那么上边宽为9×2.799=25.191,不符合实际意义.所以上下边衬的宽度约为9×0.201=1.809cm.左右边衬的宽度约为7×0.201=1.407cm.4.解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm,根据题意得9x·7x=34×27×21,解得x1=3❑√32,x2=-3❑√32(不合题意,舍去).故上、下边衬的宽度为27-9x2=27-9×3❑√322=54-27❑√34≈1.809(cm).左、右边衬的宽度为21-7x2=21-7×3❑√322=42-21❑√34≈1.407(cm).三、运用规律,解决问题解:(1)如图(1),设道路的宽为x米,则(32-2x)(20-2x)=540,解得:x1=25,x2=1,其中x=25不符合实际意义,舍去.所以图(1)道路的宽为1米.(2)方法一:设道路的宽为x米,则32×20-(32x+20x-x2)=540,解得:x1=50,x2=2,其中x=50不符合实际意义,舍去.所以图(2)道路的宽为2米.图(2)方法二:设路宽...
