“平方差公式”在几何中的应用丁治国“平方差公式”是代数中极为重要的公式之一,它不仅在代数,三角形中有着重要的作用,而且在几何中也有应用,请看下面几例。例1.如图1,线段AB上求一点P,使AP·PB为最大?解析:设AB的中点为M,则要使最大,只须MP=0,即P为AB的中点时AP·PB最大。例2.如图2,两圆相交于A、B,直线AB分别交两圆外公切线CD和于P、Q。求证:。证明:据切割线定理得、,所以CP=DP。故,所以例3.如图3,AO、BO是圆O的两条半径BE⊥AM(AM是圆O的直径),E为垂足,EP⊥AB,P为垂足。求证:。证明:作过OP的直径CD,据相交弦定理,得。(1)在中,(2)。(3)由(1)、(3)得(4)由(2)、(4)得因为CO=AO,所以。例4.证明“勾股定理”已知在Rt△ABC中,∠C=90°,求证:。证明:如图4,延长BA至点E,使AE=AC=b,连结EC,在AB上截取AF=AC=b。连结CF。则BE=c+b,BF。在△EFC中,因为AC是EF边上的中线且,所以△EFC是直角三角形,所以∠1=∠2。又∠1=∠E,所以∠E=∠2。由例5.(2002年鄂州市中考题)在圆O内等边△ABC,经过A点弦与弦BC和分别交于D和P,连结PB、PC。求证:。证明:延长PA至点E,使AE=AB,连结EB,在AP上截取AF=AC,连结CF,则,易证∠E=。又∠2=60°,所以∠AFC=60°+。又∠AFC=∠APC+∠3,所以∠3=,故有:∠E=∠3。因为∠APB=∠APC=60°,所以△EBP∽△CFP,所以,即。所以,。练习题:求证:等腰梯形两条对角线的积等于两腰之积加两底之积的和。