“平方差公式”在几何中的应用丁治国“平方差公式”是代数中极为重要的公式之一，它不仅在代数，三角形中有着重要的作用，而且在几何中也有应用，请看下面几例。例1.如图1，线段AB上求一点P，使AP·PB为最大？解析：设AB的中点为M，则要使最大，只须MP=0，即P为AB的中点时AP·PB最大。例2.如图2，两圆相交于A、B，直线AB分别交两圆外公切线CD和于P、Q。求证：。证明：据切割线定理得、，所以CP=DP。故，所以例3.如图3，AO、BO是圆O的两条半径BE⊥AM（AM是圆O的直径），E为垂足，EP⊥AB，P为垂足。求证：。证明：作过OP的直径CD，据相交弦定理，得。（1）在中，（2）。（3）由（1）、（3）得（4）由（2）、（4）得因为CO=AO，所以。例4.证明“勾股定理”已知在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：。证明：如图4，延长BA至点E，使AE=AC=b，连结EC，在AB上截取AF=AC=b。连结CF。则BE=c+b，BF。在△EFC中，因为AC是EF边上的中线且，所以△EFC是直角三角形，所以∠1=∠2。又∠1=∠E，所以∠E=∠2。由例5.（2002年鄂州市中考题）在圆O内等边△ABC，经过A点弦与弦BC和分别交于D和P，连结PB、PC。求证：。证明：延长PA至点E，使AE=AB，连结EB，在AP上截取AF=AC，连结CF，则，易证∠E=。又∠2=60°，所以∠AFC=60°+。又∠AFC=∠APC+∠3，所以∠3=，故有：∠E=∠3。因为∠APB=∠APC=60°，所以△EBP∽△CFP，所以，即。所以，。练习题：求证：等腰梯形两条对角线的积等于两腰之积加两底之积的和。
