条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、背景一种随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的也许性大小的度量.但假如给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:假如增长某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与本来的概率之间有什么关系?显然此类现象是常有的.[例1]设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者.个色盲患者中女性占个.假如={从中任选一种是色盲},={从中任选一种是女性},此时,.假如对选用规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为)自然是.[例2]将一枚硬币抛掷,观测其出现正背面的状况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.目前来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,懂得不也许发生,即知试验所有也许成果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为对于例1,已知轻易验证在发生的条件下,发生的概率对于例2,已知轻易验证发生的条件下,发生的概率对一般古典概型,轻易验证:只要,则在发生的条件下,发生的概率,总是成立的.在几何概率场所,假如向平面上单位正方形内等也许任投一点,则当发生的条件下,这时发生的概率为由此可知对上述的两个等也许性的概率模型,总有成立.其实,还可以验证,这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.二、条件概率若是一种概率空间,,若,则对于任意的,称为已知事件发生的条件下,事件发生的条件概率.[例3]一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表达第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间为={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}由条件概率公式得,[例4]一种家庭中有两个小孩,已知其中有一种是女孩,问这时另一种小孩也是女孩的概率?(假定一种小孩是女孩还是男孩是等也许的)解:据题意样本空间为={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}={已知有一种是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}={另一种小孩也是女孩}={(女,女)}于是,所求概率为三、条件概率的性质(1)非负性:对任意的(2)规范性:(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有证明:(1)由于因此(2)由于,因此(3)由于两两不相交,因此也必然两两不相交,因此四、乘法公式由条件概率的定义知:设,则.于是,这就是概率的乘法公式.假如,同样有设且则证明由于,依条件概率的定义,上式的右边五、乘法公式的应用例子[例5]设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破,第二次落下时打破的概率为7/10,若前两次时未打破,第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.解:以表达事件“透镜第次落下时打破”,以表达事件“透镜三次落下而未打破”.由于,故有[例6]设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观测其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中持续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解:以表达事件“第次取到红球”,分别表达事件第三、四次取到白球.所求概率为[例7](卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,背面次出现红球概率是多少?解:以表达事件“第k次取到黑球”,表达事件“第次取到红球”,则由一般乘法公式,1.在例7中,最终答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的次序无关.2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.当时,它是有放回的摸球模型.当时,它是不放回的摸球模型.思索题:在卜里耶模型中,取次,问恰好出现次红球概率是多少?[例8]一批产品共100件,对其进行抽样调...
