第35课平面向量的平行与垂直(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P82习题8改编)已知向量a=(3，1)，b=(2，λ).若a∥b，则实数λ=.【答案】【解析】由平行条件可得3λ=2，所以λ=.2.(必修4P81练习2改编)已知向量a=(5，12)，b=(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα=.【答案】【解析】由平行条件可得5cosα=12sinα，所以tanα=.3.(必修4P99本章测试改编)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(3，-2)，若a⊥b，则x=.【答案】【解析】由a⊥b，得3x-2=0，所以x=.4.(必修4P97复习题改编)已知向量a=(-3，4)，向量b∥a，且|b|=1，那么b=.【答案】或【解析】设b=(x，y)，由题意得4x+3y=0，=1，解得或5.(必修4P97复习题10改编)已知向量a=(-3，1)，b=(1，-2)，若(-2a+b)⊥(ka+b)，则实数k=.【答案】【解析】由(-2a+b)⊥(ka+b)，得(7，-4)·(1-3k，k-2)=0，即7(1-3k)-4(k-2)=0，解得k=.1.向量的夹角已知两个非零向量a与b，记=a，=b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围为[0°，180°].当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90°时，则称向量a与b垂直.2.(1)两个向量平行的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，则a∥bx1y2-x2y1=0.(2)两个向量垂直的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0.【要点导学】要点导学各个击破两个向量的垂直问题例1(2015·福建卷)设向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.若b⊥c，则实数k的值为.【答案】-【解析】c=(1，2)+k(1，1)=(1+k，2+k)，因为b⊥c，所以b·c=1×(1+k)+1×(2+k)=3+2k=0，所以k=-.【精要点评】两个向量互相垂直，就是两个不为0的向量的数量积为0.变式(2014·重庆卷)已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=.【答案】3【解析】因为2a-3b=2(k，3)-3(1，4)=(2k-3，-6)，又(2a-3b)⊥c，所以(2k-3)×2+(-6)=0，解得k=3.向量的平行(共线)问题例2设向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线?【思维引导】求出向量，再利用共线向量基本定理.【解答】方法一：若使得A，B，C三点共线，则需向量与共线.所以存在实数λ，使得=λ.而=-=(4-k，-7)，=-=(10-k，k-12).所以(4-k，-7)=λ(10-k，k-12)，即解得k=-2或k=11.方法二：因为=-=(4-k，-7)，=-=(10-k，k-12)，若向量与共线，则(4-k)(k-12)=-7(10-k)，解得k=-2或k=11.【精要点评】(1)将A，B，C三点共线转化为向量共线.(1)向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质相同，在解决具体问题时要注意选择有利于解题的形式.变式(2015·全国卷)设向量a，b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ=.【答案】【解析】因为向量λa+b与a+2b平行，所以λa+b=k(a+2b)，则所以λ=.与向量平行、垂直有关的综合问题例3已知向量a=(m，-1)，b=.(1)若a∥b，求实数m的值；(2)若a⊥b，求实数m的值；(3)若a⊥b，且存在非零实数k，t，使得[a+(t2-3)b]⊥(-ka+tb)，求的最小值.【思维引导】围绕平行和垂直进行坐标运算的关键是掌握平行和垂直的充要条件.求最小值则需要通过函数来解决.判定两个向量垂直，只要证明它们的数量积为0即可；由两个向量垂直，可以得到k与t的关系，从而将表示为一个变量的函数，再利用函数知识求解即可.【解答】(1)因为a=(m，-1)，b=，且a∥b，所以m-×(-1)=0，解得m=-.(2)因为a=(m，-1)，b=，且a⊥b，所以a·b=0，即m+(-1)×=0，解得m=.(3)由(2)可知m=，|a|==2，|b|=1，由已知条件得[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0，即-ka2+(t2-3)tb2=0，-k|a|2+(t2-3)t|b|2=0，所以k=.故==(t2+4t-3)=(t+2)2-.所以当t=-2时，有最小值-.【精要点评】掌握向量的数量积，通过转化为t的关系式即可求解.变式已知向量a=(sinα，-2)，b=(1，cosα)，其中α∈.(1)问：向量a，b能平行吗?请说明理由；(2)若a⊥b，求sinα和cosα的值；(3)在(2)的条件下，若cosβ=，β∈，求α+β的值.【解答】(1)向量a，b不能平行.若平行，需sinαcosα+2=0，即sin2α=-4，而-4[-1，1]，所以向量a，b不能平行.(2)因为a⊥b，所以a·b=sinα-2cosα=0，即sinα=2cosα.又因为sin2α+cos2α=1，所以4cos2α+cos2α=1，即cos2α=，所以sin2α=，又因为α∈，所以sinα=，cosα=...
