（江苏专用）高考数学一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第38课 直接证明与间接证明教师用书-人教版高三数学试题VIP免费

第38课直接证明与间接证明[最新考纲]内容要求ABC分析法与综合法√反证法√1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．②框图表示：⇒…⇒…⇒③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②框图表示：⇐…⇐…⇐③思维过程：执果索因．2．间接证明(1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)反证法的步骤：①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________．方程x2＋ax＋b＝0没有实根[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．]3．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是____________．(填序号)①综合法；②分析法；③反证法；④归纳法．②[要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________．>[ －＝>0，∴>.]5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．等边[由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]综合法如图381所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝.(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；(2)求三棱锥DPBC的体积．图381[解](1)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA.因为PA＝PD＝AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.又CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.(2)取AD的中点O，连接OP，如图因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.即PO为三棱锥PBCD的高，由PA＝PD＝AD＝，知OP＝1.因为底面ABCD是正方形，所以S△BCD＝×2×2＝2.所以V三棱锥DPBC＝V三棱锥PBCD＝PO·S△BCD＝×1×2＝.[规律方法]综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1]已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x).【导学号：62172205】[解](1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．h′(x)＝－x2＋x－1＝.所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).分析法已知a>0，求证：－≥a＋－2.[证明]要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.因为a>0，故只需要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需要证2≥，只需要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．[规律方法]1.当已知条件与结论...