1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量长度问题数量积的定义(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．(√)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(×)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(×)(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．(×)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)1．已知等边△ABC的边长为1，则|3AB＋4BC|＝________.答案解析因为|3AB＋4BC|2＝9＋24AB·BC＋16＝25＋24×1×1×＝13，所以|3AB＋4BC|＝.2．已知在△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|＝________________________________________________________________________.答案3解析在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝BC2，又AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以AB＋AC＝2AD，两边平方得4|AD|2＝68－32＝36，解得|AD|＝3.3．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案1∶2解析设D为AC的中点，如图所示，连结OD，则OA＋OC＝2OD.又OA＋OC＝－2OB，所以OD＝－OB，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.4．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.答案300解析W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J)．5．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．答案y2＝8x(x≠0)解析由题意得AB＝，BC＝，又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即·＝0，化简得y2＝8x(x≠0).题型一向量在平面几何中的应用例1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)．答案重心解析由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．引申探究在本例中，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的_____________________________________________________________．答案内心解析由条件，得OP－OA＝λ，即AP＝λ，而和分别表示平行于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．思维升华解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．...
