抽象函数经典综合题33例(含详细解答)抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答)1.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。解(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 f(0)≠0∴f(0)=1(2)令a=x,b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴)(1)(xfxf由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0∴0)(1)(xfxf又x=0时,f(0)=1>0∴对任意x∈R,f(x)>0(3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0),f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0∴02时,}12|{xaxxx或4.已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(21)=-1,且满足x,y∈(-1,1)有f(x)+f(y)=f(xyyx1)⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;⑵对数列x1=21,xn+1=212nnxx,求f(xn);⑶求证252)(1)(1)(121nnxfxfxfn(Ⅰ)证明:令x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0∴f(x)+f(-x)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数(Ⅱ)解:f(x1)=f(21)=-1,f(xn+1)=f(212nnxx)=f(nnnnxxxx1)=f(xn)+f(xn)=2f(xn)∴)()(1nnxfxf=2即{f(xn)}是以-1为首项,2为公比的等比数列∴f(xn)=-2n-1(Ⅲ)解:)2121211()(1)(1)(11221nnxfxfxf2212)212(21121111nnn而2212)212(252nnnn∴252)(1)(1)(121nnxfxfxfn5.已知函数NxfNxxfy)(,),(,满足:对任意,,,2121xxNxx都有)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx;(1)试证明:)(xf为N上的单调增函数;(2)nN,且(0)1f,求证:()1fnn;(3)若(0)1f,对任意,mnN,有1)())((nfmfnf,证明:niif141)13(12.证明:(1)由①知,对任意*,,ababN,都有0))()()((bfafba,由于0ba,从而)()(bfaf,所以函数)(xf为*N上的单调增函数.(2)由(1)可知nN都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1f(n+1)-f(n)1,f(n)-f(n-1)1???f(2)-f(1)1f(1)-f(0)1由此可得f(n)-f(0)nf(n)n+1命题得证(3)(3)由任意,mnN,有1)())((nfmfnf得()1fm由f(0)=1得m=0则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121???nnnniif6.已知函数()fx的定义域为0,1,且同时满足:(1)对任意0,1x,总有()2fx;(2)(1)3f(3)若120,0xx且121xx,则有1212()()()2fxxfxfx.(I)求(0)f的值;(II)求()fx的最大值;(III)设数列na的前n项和为nS,且满足...