抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴)(1)(xfxf由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴0)(1)(xfxf又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴02时，}12|{xaxxx或4.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f(xyyx1)⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；⑵对数列x1＝21，xn＋1＝212nnxx，求f(xn);⑶求证252)(1)(1)(121nnxfxfxfn(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(x)＋f(－x)＝0∴f(－x)＝－f(x)∴f(x)为奇函数(Ⅱ)解：f(x1)＝f(21)＝－1，f(xn＋1)＝f(212nnxx)＝f(nnnnxxxx1)＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)∴)()(1nnxfxf＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f(xn)＝－2n－1(Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221nnxfxfxf2212)212(21121111nnn而2212)212(252nnnn∴252)(1)(1)(121nnxfxfxfn5.已知函数NxfNxxfy)(,),(，满足：对任意,,,2121xxNxx都有)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx；（1）试证明：)(xf为N上的单调增函数；（2）nN，且(0)1f，求证：()1fnn；（3）若(0)1f，对任意,mnN,有1)())((nfmfnf，证明：niif141)13(12.证明：（1）由①知，对任意*,,ababN，都有0))()()((bfafba，由于0ba，从而)()(bfaf，所以函数)(xf为*N上的单调增函数.（2）由（1）可知nN都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1f(n+1)-f(n)1,f(n)-f(n-1)1???f(2)-f(1)1f(1)-f(0)1由此可得f(n)-f(0)nf(n)n+1命题得证（3）（3）由任意,mnN,有1)())((nfmfnf得()1fm由f(0)=1得m=0则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121???nnnniif6.已知函数()fx的定义域为0,1，且同时满足：(1)对任意0,1x，总有()2fx；(2)(1)3f(3)若120,0xx且121xx，则有1212()()()2fxxfxfx.(I)求(0)f的值；(II)求()fx的最大值；(III)设数列na的前n项和为nS，且满足...
