抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径
抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点
本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1
定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围
解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴)(1)(xfxf由已知x>0时，f(x)>1>0，当x0，f(-x)>0∴0)(1)(xfxf又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴0f(n),则有f(n+1)f(n)+1f(n+1)-f(n)1,f(n)-f(n-1)1
f(2)-f(1)1f(1)-f(0)1由此可得f(n)-f(0)nf(n)n+1命题得证（3）（3）由任意,mnN,有1)())((nfmfnf得()1fm由f(0)=1得m=0则f
