1初等代数研究课后习题20071115033数学院07（1）杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何Nba,，当且仅当ba时，ab.（2））对任何Nba,，在ba，ba，ba中有且只有一个成立.证明：对任何Nba,，设aA，bB（1）“”ba，则BB,,使,~BA，ABB~,,ab“”ab，则BB,,使AB~,，BBA,~,ba综上对任何Nba,，baab（2）由（1）baabba与ba不可能同时成立，假设ba与ba同时成立，则BB,,使,~BA且BA~，,~BB与B为有限集矛盾，ba与ba不可能同时成立，综上，对任何Nba,，在ba，ba，ba中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何Nba,设M为使等式abba成立的所有b组成的集合先证aa11，设满足此式的a组成集合k，显然有1+1=1+1成立k1，设ka，aa11，则aaaaa1)1()1()(1ka，Nk，取定a，则1M，设,bMabba，则()()ababbaba,bMMN对任何Nba,，abba3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a，反证：假设至少有两个对应关系,fg，对bN，有(),()fbgbN，设M是由使()()fbgb成立的所有的b组成的集合，()()1fbgba1M设bN则()()fbgb()()fbagba()()fbgb，bM，MN即bN，()()fbgb2乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a组成集合K当1a时，bN，111,1111bbbbk1，设aK，bN，有,ab与它对应，且1aa，ababa，对bN，令ababb1111aaaa1()(1)ababbabababbaabaaKKN即乘法存在p24—5、解：满足条件的A有1{1,2}A，2{1,2,3}A，3{1,2,4}A，4{1,2,5}A5{1,2,3,4}A，6{1,2,3,5}A，7{1,2,4,5}A，8{1,2,3,4,5}A123456782,3,4,5AAAAAAAA基数和为23343528p24—6、证明：,AaBb，A中的x与B中的y对应ABab，BAbaabABabABABBAp24—8、证明：1）3+4=731343231(31)453332(32)563433(33)672）34123133231313633323239343333312p24—12、证明：1）()mnmn()1(1)mnmnmnmn32）()mnnmm()1(1)mnmnmnmnmmp26—36、已知(,)fmn对任何,mnN满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))fnnfmfmfmnfmfmn求证：1）(2,)2fnn2）(3,)22fnn3）1(4,)22nfn证明：1)当1n时，(2,1)(11,1)(1,2)2112fff结论成立，假设nk时，结论成立，即(2,)2fkk，当1nk时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2fkfkffkfkkk所以对一切自然数结论都成立2）当1n时，(3,)(21,)(2,2)22212fnfnf结论成立假设nk时，结论成立，即(3,)22fkk当1nk时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2fkfkffkfkkk所以对一切自然数结论都成立3）当1n时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222fff结论成立假设nk时，结论成立，即1(4,)22kfk当1nk时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222kkkfkffkf所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.14证明：[,],[,]abcdZ，[,][,][,]abcdacbd因为自然数加法满足交换律[,][,]acbdcadb而[,][,][,]cdabcadb[,][,][,][,]abcdcdab[,],[,],[,]abcdefZ，[,][,][,][,][,][(),()]abcdefacbdefacebdf以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])abcdefabcdef即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]abcdZ，求证[,][,]abcd的充要条件是[,][,][1,1]abcd证明：“”已知[,][,]abcd则adbc[,][,][,][1,1]abcdadbc“”已知[,][,][1,1]abcd则[,][1,1]adbc，adbc[,][,]abcdp62—4、已知Nba,，求证([,])[,]abab证明：[,][,]abba([,])[,][,]abbaabp62—5、已知[,],[,]abcdZ，求证([,][,])[,][,]abcdabcd证明：左边([,][,])[,][,]abcdadbcbcad右边[,][,][,][,][,]abcdbacdbcad所以左边等于右边([,][,])[,][,]abcdabcdp62—7、已知,,abcN，求证当且仅当adbc时[,][,]abcd证明：“”已知adbc，[,][,][,]abcdadbc因为adbc[,]adbc是负数，[,][,]abcd“”已知[,][,]abcd则[,][,][,]abcdadbc因为[,]adbc是负数，adbc5p62—9、已知,Z，求证：1），2）证明：设[,],[,]abcd1）[,]acbd()()acbd而,abcd()()()()acbdabcdabcd2）[,]acbdadbc()acbdadbc而,abcd()()()()()acbdadbcacdbdcabcdabcdp63—12、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为,kkab，1,2,........,kn，求证：2222221212......nnaaabbb证明：对于(1,2,...,)kakn，必存在一个(1,2,...,)jbjn使得kjab22(,1,2,...,)kjabkjn2222221212......nnaaabbbp63—16、已知10pab，10pcd，求证padbc证明：由已知：,stZ使10abps，10cdpt1...
