用函数观点看数列（一）罗田县骆驼坳中学:盛爱军2010年4月7日数列是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数.任何数列问题中都蕴含着函数的本质及含义，具有函数的一些固有特征.因此，在解决数列问题时要注重利用函数的性质如：值域、单调性、最值等去进行分析思考，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从而有效地解决数列问题.请问：你知道数列与函数是什么关系吗？下面我想从以下几个方面来讲解：1.利用函数的周期性；2.利用函数的单调性；3.利用函数的图像；4.函数与数列的语言的融汇；一.利用函数的周期性；11(2)()2(2)()(3)(2)()(4)(2)1()1()(5)(2)(1)()(6)(2)1()fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx+=+=-+=-+=-++=+-+=-请先看这样一道题：已知函数f(x)分别满足下列等式，你能求出它的一个周期吗（？）（）答案：（1）2；（2）4；(3)4（4）4；（5）6；（6）8；（答案不唯一）(5)(2)(1)()(3)(2)(1)()(2)(1)(3)()6fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx+=+-\+=+-+-=+-+\+=-\解：是它的一个周期1()1()1()1()11(2)16)(4)1(2)1()1(8)()(4)fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx+-+-++++===--+-+=-=+（{}{}{}{}*1120082009201012212010*112,1,(),SS-2S+S=_____23,6,-,__1()31()nnnnnnnnnnnaaaanNaaaaaaafxfxa+++==-Î====+Î-Î例（）在数列中，设为数列的前n项和，则（）已知数列中，a则（）已知定义在R上的函数f(x)对任意xR，都有f(x+2)=,设a=f(n),(nN)则数列8C.6D.4中值不同的项至多有__项。A.12B.{}1122010122121.()10051005;nnnaaaaSa+==-=-=+´=解：1.由，知：是的一个周期，且aa{}2120103146662.-66363-3-6-3.=3;nnnnaaaaaaa++´+===-由知，是数列的周期，由递推关系不难写出前项依次为，，，，，故3.8B由已知可知：是它的一个周期，故选。在函数中，求值域（最值）的方法：1.利用函数单调性；2.图像法；3.换元法；4.分离常数法；5.配方法；6.导数法；7.判别式法；等等。那么，在数列中的最值问题能否从函数方法中借鉴一二呢？{}{}*102.=,+1nnnnaanNan+Î例在数列中，，求数列中最小项。1+99=129611nnnnn+=++³=++分析：a(8=n=当且仅当时，取“”）二.利用函数的单调性；*21113.=tan,12sinsin2_nnnnaaa+++Î++++=例若f(n）的最小值为（nN)则(1)fn+=解：11111(1)()0112(1)2122fnfnnnnnnn\+-=-++=->++++++*1(1)()()()(1=2fnfnfnnNfnf\+>\Î\在上递增，的最小值是）2222221sin2sincostan2tantan=,sinsin212sincostan1aaaaaaaaaaa++\\+===++如何求最小值呢？1111111121112(1)nnnnnnn+++++++++++-+++1111()123fnnnnnn=++++++++3=f如：（）111++3+13+23+32*111131.1232kknNnnnnn++++³+-Î++++已知在上恒成立，求实数k的取值范围。££（-2k1){}12*3112.21,1+)1+)111+)1+)21nnnaanaanaa=-³+Î已知数列中，问是否存在正数k，使（（（（k对一切nN均成立？若存在求出的最大值，若不存在说明理由。121111+)1+)1+)21naaan£+（（（解：要使命题成立，只要k恒成立。121111+)1+)1+)21naaan+（（（令g(n)=1+11111+)1+)1+)(+1=23nnaaagnn+（（（则）+1(+1121=1+)23ngnnan+\´+）（g(n)+12+1nan=（）2222122=2123483nnnnnnn+++=++++222>484nnn+++=1*(+1,gn\\Î）>g(n)g(n)在nN上递增的23(3gn\）的最小值是g(1)=233k\£三.利用函数的图像；在数列中，许多方面可以借助函数图像帮助解决，如：{}22SSSnnnnanAnBnbxª=++数列的前项和，我们把写成“”形式，借助函数f(x)=ax的图像来研究；{}32*3216204,3162043nnnaannnnNaxxxª=-++Î-++数列的通项公式（)求的最小值。我们可以借助f(x)=图像来研究，等等。{}228741f(x=x,(2)(8___2S,S=S,S=S,=__nnkbxcffbank-+==例（）若函数）且），则（）若等差数列的前项和为且则{}22S,nnaAnBn\=+（）是等差数列，设Sn\是抛物线上横坐标为正整数的点。287=22k++由于抛物线的对称性可知:k=3\(1)b=10;解：2S40,S____.nnnnn=-+若数列的前n项和则使得最大的为20答案：一.利用函数的周期性；二.利用函数的单调性；三.利用函数的图像；一.利用函数的周期性；二.利用函数的单调性；
