空间向量求立体几何中空间角解答题VIP免费

空间向量求立体几何中空间角解答题1．如图，已知AD平面ABC，EC平面ABC，ABACAD1BC.2（1）设P是直线BE上的点，当点P在何位置时，直线DP//平面ABC？请说明理由；（2）若BAC120，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）当点P是BE的中点时，DP//平面ABC.理由如下：如下图，取BC的中点O，连接AO、OP、PD，则OP//EC且OP1EC，2因为AD平面ABC，EC平面ABC，所以AD//EC.又AD1EC，所以OP//AD且OPAD，2所以四边形AOPD是平行四边形，所以DP//AO.因为AO平面ABC，DP平面ABC，所以DP//平面ABC；（2）不妨设ABACAD1EC2，O为BC的中点，则AOBC，2因为BAC120，则ABC30，所以AO1，COBO3.AD平面ABC，PO//AD，则PO平面ABC，以点O为坐标原点，分别以AO、OB、OP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，则B0,3,0，D1,0,2，E0,3,4，所以BD1,3,2，BE0,23,4.设平面BDE的法向量为nx0,y0,z0，试卷第1页，共16页nBD0x03y02z00则，即，可取y02，所以n0,2,3.nBE023y04z00又平面ABC的一个法向量为p0,0,1，所以cosp,n21.7pnpn321.77平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为2．如图，在直角梯形AEFB中，AEEF，且BFEF2AE4，直角梯形D1EFC1可以通过直角梯形AEFB以直角EF为旋转轴得到．（1）求证：平面C1D1EF平面BC1F；π（2）若二面角C1EFB为，求直线C1E与平面ABC1所成角的正弦值．3【解析】（1）证明：在直角梯形AEFB中，AEEF，且直角梯形D1EFC1是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，所以D1EEF，所以BFEF，C1FEF，又BFC1FF，BF，C1F平面BC1F，所以EF平面BC1F，又EF平面C1D1EF，所以平面C1D1EF平面BC1F；（2）由（1）可知，BFEF，C1FEF，ππ因为二面角C1EFB为，所以C1FB，33过点F作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系如图所示，由BFEF2AE4，可得E4,0,0，C10,2,23，B0,4,0，A4,2,0，试卷第2页，共16页所以AB4,2,0，C1B0,2,23，EC14,2,23，设平面ABC1的法向量为nx,y,z，nAB4x2y03则有，令z1，则y3，x，2B2y23z0nC13n,3,1所以2，所以直线C1E与平面ABC1所成角的正弦值为cosn,EC1nEC1nEC12311438．194223．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABBC,PAB120,PAADAB1,BC2.（1）证明：平面PBC平面PAB；（2）在线段PB上是否存在点M，使得直线AM与平面PBD所成角的正弦值为段PM的长度；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明： 面PAB面ABCD且面PAB面ABCDAB，BCAB,BC面ABCD，∴BC平面ABP，又BC平面PBC，∴平面PBC平面PAB.（2）在平面PAB内，过点A作AEAB交PB于点E，则可知AE⊥平面ABCD.以A为坐标原点，分别以AB,AD,AE方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，13由PAB120,PAADAB1,BC2，可得P,0,,B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，则2215？若存在，求出线53133DP,1,，DB(1,1,0)，PB,0,，2222试卷第3页，共16页13nDP0z0xy设n(x,y,z)为平面PBD的法向量，则，即2，取n(1,1,3)，2nDB0xy0313(1),0,设PMPB(01)，则AMAPPM，22若直线AM与平面PBD所成角的正弦值为15，则5|cosAM,n|21|AMn|115或，，解得335|AM||n|32315323.或PM33故存在点M满足题意，此时PM4．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱BB1上运动，F为DD1的中点.（1）若E为BB1中点，求证：AE//平面BC1F；（2）若BE，求当为何值时，二面角BC1FE的平面角的余弦值为421.BB121【解析】（1）取CC1的中点M，连接BM、FM、AF，试卷第4页，共16页因为四边形BB1C1C为正方形，则BB1//CC1且BB1CC1，因为E、M分别为BB1、CC1的中...