数学谬论与诡辩赏析——几何篇一、梯形的上底等于下底如图，任意梯形的上底为a，下底为b，中位线为c下面来证明a＝b证明方法如下：因为c是梯形的中位线所以a＋b＝2c等式两边都乘以(a—b)，得(a+b)·(a—b)＝2c·(a—b)展开得a2－b2＝2ac－2bc移项得a2－2ac＝b2－2bc等式两边都加c2，得a2－2ac＋c2＝b2－2bc＋c2即(a—c)2＝(b—c)2两边都开方，得a－c＝b－c第1页共6页等式两边都加c，得a＝b这就是说，任何梯形的上底都等于下底。结论当然是荒谬的，要是这样的话，梯形和平形四边形岂不是没有区别了么？但是，证明过程中什么地方错了呢？解析：错在等式(a—c)2＝(b—c)2两边都开方得a—c＝b－c这个环节上。因为由(a—c)2＝(b—c)2，只能得到|a—c|＝|b－c|。在这里a—c＜0，b－c＞0，所以，a—c不可能等于b－c，即a≠b。二、大圆半径等于小圆半径如左图，在两个同心圆中，大圆半径为R，小圆半径为r，下面来证明R＝r。证明：如右图，使大圆沿着直线滚动一周，这时，大圆的周长＝AA′＝2πR。由于两圆是固定在一起的，所以小圆也转动一周，移动的距离是BB′，即BB′＝小圆的周长＝2πr。因为四边形AA′B′B是矩形，所以AA′＝BB′由AA′＝2πR，BB′＝2πr，得，2πR＝2πr在等式两边都除以2π，得R＝r即大圆半径＝小圆半径。第2页共6页解析：从图上看，似乎是合情合理的，实际上其中忽略了一个隐含的因素，即因为两圆固定在一起，小圆除了滚动之外，还随着大圆的滚动向前滑行。因此，AA′是大圆的周长，BB′虽与AA′相等，实际却并不与小圆周长相等，它要比小圆周长大出许多。由于大前提错了，由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径不可能与小圆的直径、半径相等！三、三角形内切圆面积大于该三角形面积设三角形的周长为30，面积为75，根据S＝(a+b+c)r＝pr，得内切圆半径r＝＝＝5。于是，三角形内切圆的面积＝πr2＝25π＞75，即三角形内切圆面积大于三角形面积。解析：部分居然大于整体！这究竟是怎么一回事呢？原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性：由秦九韶——海伦公式和平均值不等式，得S=≤==s2=p2（这里s=(a+b+c)=p，s为三角形的半周长，p为三角形的周长）即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式：S≤p2（当且仅当a=b=c时取等号）.而上述三角形面积（75）和周长（30）之间并不满足这个不等式，换句话说，这个三角形根本不存在！四、任何三角形都是等腰三角形我们知道，三角形按边分类，可分为等腰三角形和不等边三角形。现在，有人却要证明：任意三角形都是等腰三角形。如图，△ABC是任意三角形，当AB＝AC时，显然△ABC是等腰三角形。下面证明当AB≠AC时，△ABC也是等腰三角形！第3页共6页不妨设AB＞AC，作边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线，交点为P，过点P作PF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，连接PB、PC。容易证明①△APF≌△APG（角角边），所以有AF＝AG，PF＝PG；②△BPF≌△CPG（由①得PF＝PG，又DE垂直平分BC，所以PB＝PC，再根据“斜边直角边”得证），所以有BF＝CG.因为AB＝AF＋FB，AC＝AG＋GC，所以AB＝AC.综上所述，任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类了！但是，这个证明究竟错在什么地方呢？解析：这道题的错误在于把图画错了！如果严格的按要求画图，PG与边AC的垂足不会在边AC上，而在边AC的延长线上，这时，我们可以证明AB－BC＝2BF（或2CG），只有当BF＝CG＝0时，才有AB＝BC。所以“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。至于有人在证明时，故意把边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线的交点P画在△ABC内部（见下图），那就更加大错特错了。事实上，设∠BAC的平分线与边BC相交于点K，根据三角形内角平分线定理得：AB/AC＝BK/KC。如果AB＞AC，那么BK＞KC，也就是说K点在边BC中点的右边，所以边BC的垂直平分线DE和∠BAC的角平分线的交点P不可能在△ABC的内部！而这一点在“证明”中起着关键的作用。第4页共6页看了上面的“证明”，我们不免会有这样的疑问：如果一个几何题的证明的正确性取决于画图的准确性，那么我们又如何能保证画图的准确性呢？尤其严重的是，任何一个图形，即便你把它画得足够“...
