【课标要求】2.2.2换底公式掌握对数的运算性质及换底公式；能运用对数运算性质及换底公式进行化简、求值和证明．1．2．设logaN＝b，那么ab＝N，如果a＝cx，则cbx＝N，即logcN＝bx，注意到b＝logaN，x＝logca，得到logcN＝logaNlogca，也就是自学导引logaN＝______(a>0，a≠1，c>0，c≠1，N>0)．这个公式叫作对数的_________．最常用的对数换底公式是：logaN＝lgNlga和logaN＝lnNlna，因为常用对数计算起来最方便，而自然对数最受数学家的青睐．换底公式logcNlogcalog2ab＝log2a＋log2b一定成立吗？提示不一定成立，只有当a>0且b>0时才成立．例如：log2[(－2)×(－7)]存在，但log2(－2)，log2(－7)都不存在，因而不能得出log2[(－2)×(－7)]＝log2(－2)＋log2(－7)．在什么情况下选用换底公式？提示(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．自主探究1．2．答案A预习测评1．若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则1x－1y等于()．A.13B．3C．－13D．－3解析由指数式转化为对数式：x＝log2.51000，y＝log0.251000，则1x－1y＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝13.答案A2．log25125等于()．A.32B.23C．2D．3解析log25125＝lg125lg25＝3lg52lg5＝32.已知log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.解析由log63＋log6x＝0.6131＋0.3869＝1.得log6(3x)＝1，故3x＝6，x＝2.答案23．4.log89log23的值是________．解析log89log23＝lg9lg8lg3lg2＝lg9·lg2lg8·lg3＝2lg3·lg23lg2·lg3＝23.答案23换底公式的理解换底公式的证明：设x＝logab，根据对数定义，有b＝ax.两边取以c为底的对数，得logcb＝logcax，而logcax＝xlogca，∴logcb＝xlogca.名师点睛由于a≠1，则logca≠0，解出x，得x＝logcblogca， x＝logab，∴logab＝logcblogca.一、1．换底公式及其推论在解题中有广泛的应用，具体地讲，就是将底不同的对数转换成底相同的对数进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般地换成以10为底的常用对数．对数式的化简对于同底的对数的化简常用方法是：“①收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“②拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．由换底公式可得如下结论：(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝nmlogab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.3．二、1．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．另外注意性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)的应用．2．3．4．计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．题型一利用换底公式求值【例1】典例剖析解法一原式＝(log253＋log225log24＋log25log28)(log52＋log54log525＋log58log5125)＝(3log25＋2log252log22＋log253log22)(log52＋2log522log55＋3log523log55)＝(3＋1＋13)log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.点评法一是先对括号内换底，然后再将底统一；法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等式证明的常用方法．法二原式＝(lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8)(lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125)＝(3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2)(lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5)＝13lg53lg2·3lg2lg5＝13.【变式1】计算：log2125·log318·log519.解原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝（－2lg5）·（－3lg2）·（－2lg3）lg2lg3lg5＝－12.题型二含有字母约束条件的求值【例2】(1)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645.解(1) 3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.点评指数式化...
