函数的单调性与最值()VIP免费

1.3.1函数的单调性（一）观察下列各函数的图象，你能说说它们有哪些变化规律？xyOy=x23xyyx2图一、观察实例图13xyyx2图xyOy=x2图1函数y=x2的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的。yy函数y=x3的图象从左至右是上升的。函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。思考：怎样用“数”来刻划“形”的变化特点？xyOy=x2x…-4-3-2-101234……16941014916…2)(xxfy),0[函数y=x2的图象在轴右侧是上升的.在区间上，随着x的增大，相应的也随着增大。)(xf函数y=x2的图象在轴左侧是下降的.在区间上，随着x的增大，相应的反而减少。)(xfy(,0]二.增函数与减函数的定义1.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f（x）在区间D上是增函数.2.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f（x）在区间D上是减函数.Oxy)x(f11x)x(fy)x(f22x)x(f1)x(f2)x(fyOxy1x2x)x(fy)x(fy)x(fy如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在区间D上具有单调性，区间D为函数的单调区间Oxy)x(f11x)x(fy)x(f22x)x(f1)x(f2)x(fyOxy1x2x例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f（x）是增函数还是减函数.-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2作图是得出函数单调性的方法之一.三、应用与拓展思考：(1)函数f(x)在某一点处是否具有单调性？(2)函数y=x2在它的定义域上是否具有单调性？(3)函数在它的定义域上是否具有单调性？xy1”不能用“一般地，单调区间之间的单调区间指出函数练习xxxf2)(.12单调递增区间：单调递减区间：]1,(),1[xxxxf2)(2y21o注：函数单调区间的判断方法一：图像法上是增函数。在证明例Rx12y.293f(x)(0,+)xx例、证明+1在上是增函数。上是减函数在求证：函数变式训练练习：)1,0(1)(123xxxfP总结：证明函数在某个区间上的单调性的方法与步骤:1、设值：.,,2121xxxx且给定区间设2、作差：.、有理化等通分、配方、因式分解4、判断差的符号：5、下结论：0.0.若差则为增函数若差则为减函数3、变形：)()(21xfxf例4（1）函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈[-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2]时是减函数，则f(1)=.(2)函数y=2x2-2ax+a2-1在（－∞,1）上是减函数，则实数a的取值范围是。(3)函数y=2x2-2ax+a2-1的单调减区间为（－∞,1），则实数a的取值范围是。例5函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[1，3]上是增函数，求实数a的取值范围。四、课堂小结四、课堂小结增函数减函数图象图象特征自左至右，图象上升.自左至右，图象下降.数量特征y随x的增大而增大.当x1＜x2时，y1＜y2y随x的增大而减小.当x1＜x2时，y1＞y2Oxyx1x2y1y2Oxyx2x1y1y21。知识归纳二.函数单调性的判断方法：图像法，定义法三.函数单调性的证明步骤：上是减函数在区间函数的单调区间写出函数巩固与思考xxfxxf31)(.21)(.1