数学第二课时数列求和习题课数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.课标要求数学知识梳理1.公式法求和(1)等差数列的前n项和公式Sn=12nnaa=112nnnad；(2)等比数列前n项和公式Sn=11111,1.naqqnaqq数学2.分组法求和有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.3.裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.4.错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.数学自我检测B1.(裂项相消法求和)数列{an}的前n项和为Sn,若an=11nn,则S5等于()(A)1(B)56(C)16(D)130解析:an=11nn=1n-11n,S5=11-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.故选B.数学B解析:因为an=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+12nn.所以S6=27-2+672=147.故选B.2.(分组法求和)已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6等于()(A)282(B)147(C)45(D)70数学解析:因为an=11nn=1n-n,又a1+a2+…+an=-(1-2+2-2+…+n-1n)=1n-1=9,所以n=99.3.(裂项相消法求和)数列{an}的通项公式是an=11nn,其前n项和为9,则n等于()(A)9(B)99(C)10(D)100B数学解:当a=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2.当a≠1时,Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①则aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an,②①-②得(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an=1+1211naaa-(2n-1)an.所以Sn=1211nnaa+221naaa.4.(错位相减法)求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1(a≠0)的前n项和.数学课堂探究分组求和题型一解:当x≠±1时,Sn=(x+1x)2+(x2+21x)2+…+(xn+1nx)2=(x2+2+21x)+(x4+2+41x)+…+(x2n+2+21nx)=(x2+x4+…+x2n)+2n+（21x+41x+…+21nx）=22211nxxx+22211nxxx+2n=22222111nnnxxxx+2n;当x=±1时,Sn=4n,综上得,Sn=222224,1,112,1.1nnnnxxxnxxx【例1】求和:Sn=（x+1x）2+(x2+21x)2+…+(xn+1nx)2.数学题后反思某些数列,通过适当分组,可把它拆分成两个或两个以上的等差数列或等比数列求和问题,那么我们可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,进而得出原数列的和.数学即时训练11:已知数列{cn}:112,214,318,…,试求{cn}的前n项和.解:令{cn}的前n项和为Sn,则Sn=112+214+318+…+[n+(12)n]=(1+2+3+…+n)+[12+14+18+…+(12)n]=12nn+11122112n=12nn+1-(12)n.即数列{cn}的前n项和Sn=22nn+1-(12)n.数学解:当a=1时,则an=n,于是Sn=1+2+3+…+n=12nn.当a≠1时,an=11naa=11a(1-an).所以Sn=11a[n-(a+a2+…+an)]=11a[n-11naaa]=1na-211naaa.综上得Sn=211,211.11nnnaaanaaa【备用例1】求数列1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an-1,…的前n项和Sn(其中a≠0).数学裂项求和题型二解:(1)设数列{an}的公比为q,则由23a=9a2a6=924a,所以q2=19因为q>0,所以q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故数列{an}的通项公式为an=13n.【例2】等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,23a=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{1nb}的前n项和Tn.数学(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-12nn.故1nb=-21nn=-2(1n-11n),所以Tn=11b+21b+…+1nb=-2[(1-12)+(12-13)+…+（1n-11n）]=-21nn.数学题后反思对于通项公式是分式的一类数列,在求和时常用“裂项法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项,常见的拆项公式有:(1)1nnk=1k·(1n-1nk);(2)若{an}为等差数列,公差为d,则11nnaa=1d(1na-11na);(3)11nn=1...
