2016高考数学模拟题(2)南师大《数学之友》一.填空题1.直线：与圆：交于点，，且的面积为整数，则所有满足条件的正整数的和为▲.2.若，且，则的值为▲.3.设正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4，点,,,分别为棱,,,的中点，则三棱锥的体积为▲.4.平面内四点,,,满足,,,,则面积的最大值为▲.5.已知函数若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是▲.6.正数数列的前项和为，，设为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数,,，不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．二、解答题7.如图，某水域两条直线型岸边和成定角，该水域中位于该角平分线上且与顶点相距1km的处有一固定桩.现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网（分别在和上）围出三角形的养殖区，且的长不超过5km，由于条件的限制km，，设km，问该渔1民至少可以围出多少平方公里的养殖区？8.已知直线，圆,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.9.设，，若直线是曲线C：的一条切线（其中是自然对数的底数）且.（1）求的值；（2）设，证明.10.定义：从一个数列中抽取若干项（不少于三项）按其在中的次序排列的一列数叫做的子数列.成等差（等比）的子数列叫做的等差（等比）子列.（1）记数列的前项的和为，已知，求证：数列是数列的等差子列；（2）设等差数列的各项均为整数，公差，.若数列是数列的等比子列，求的值；2（3）设数列是各项均为实数的等比数列，且公比.若数列存在无穷多项的等差子列，求公比所有的值.理科加试11.某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响.（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率；（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求的分布列及数学期望.12.设，集合，集合中满足条件“”(m∈N*)的元素的个数记为.（1）求，的值；（2）当时，求证：.参考答案一.填空题31.答案：.解：，，所以，当或时，为整数，故所有满足条件的正整数的和为.2.答案：.解：因为，所以，因此，所以，故.3.答案:.解：.4.答案：.解：以,为正交基底建立平面直角坐标系（,的方向为轴的正方向），则，直线的方程为，点在圆上，设，则到直线的距离为，所以.5.答案：.解：由函数的图像可得，使得函数有个不同的零点，必须保证方程在上有两个不同的根，解得.6.答案:解：，当时，4即化简得所以或（舍去），令，解得.所以.根据题意，又，所以，所以.二、解答题7.解：根据题意，即，解得：.令，解得：.又，所以.令△的面积为，则.当，即时，，当且仅当时取;当，即时，令，.再令，.即在上为单调递增函数，所以.答：当时，养殖区面积的最小值为平方公里，当时，养殖区面积的最小值为平方公里.58.解：(1)由题设，可知，又,,所以椭圆的方程是.(2)法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得.设点的坐标分别为，则.因为及所以，，当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点,所以此时，以为直径的圆恒过定点.当直线的斜率不存在时，与轴重合，以为直径的圆为，也过点.综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件.法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆是.若直线垂直于轴，则以为直径的圆是.6由此可知所求点如果存在，只能是.事实上点就是所求点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理得.设点的坐标分别为，则及所以为直径的圆恒过定点.即证明了点就是所求以为直径的圆恒过的定点.9.解：（1）设切点坐标为,根据题意得，，所以，.7又，因为，所以.令，，所以在为单调递减函数，又，所以，即，所以.即.（2）因为，，所以在上为单调递增函数；因为，所以，又，下面证明.要证上式成立，只要证，即证，令，，所以在为单调递...
