高三数学函数的单调性人教版【本讲教育信息】一.教学内容:函数的单调性1.概念:设函数)(xf的定义域为I(1)增函数:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx,当21xx时,都有)()(21xfxf,那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。(2)减函数:如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx,当21xx时,都有)()(21xfxf,则称)(xf在这个区间上是减函数。(3)单调区间:如果函数)(xfy在某个区间是增函数或减函数,则称函数)(xfy在这一区间上具有(严格的)单调性,该区间叫做)(xfy的单调区间。注:①中学单调性是指严格单调的,即不能是)()(21xfxf或)()(21xfxf②单调性刻画的是函数的“局部”性质。如xy1在)0,(与),0(上是减函数,不能说xy1在),0()0,(上是减函数。③单调性反映函数值的变化趋势,反映图象的上升或下降2.单调性的判定方法(定义法、复合函数单调性结论,函数单调性性质,导数,图象)(1)定义法[例1]证明函数1)(31xxf在R上是增函数证:设21xx,则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf而分子021xx分母043)21(3222312311322312311321xxxxxxx故0)()(21xfxf得证补:讨论函数22)(xxaxf的单调性)10(a解:设1a时,对任Rx,022xxa,设121xx2112222212)()(xxxxaxfxf,而)](2)[(221212211222xxxxxxxx0即)()(12xfxf故在)1,(单增,同理在),1(单减当10a时,同理在(1,)单减,在(1,)单增[例2]讨论xxxf1)(的单调性解:设21xx,则)11)((11)()(2112112212xxxxxxxxxfxf21212112)()1)((xxxxxxxx(1)当1021xx时,1021xx,0)()(12xfxf(2)当211xx时,211xx,0)()(12xfxf故)(xf在]1,0(上是减函数,在),1[上是增函数[例3]试求函数xpxxf)((p0)的单调区间分析:考虑到212112112212)()()()(xxpxxxxxpxxpxxfxf以下分类讨论(1)当p0时①若pxx21,则0)()(12xfxf,)(xf增②若021xxp,则0)()(12xfxf,)(xf减③若pxx210,则0)()(12xfxf,)(xf减④若21xxp,则0)()(12xfxf,)(xf增(2)当0p时①若021xx,则0)()(12xfxf增②若210xx,则0)()(12xfxf增综上所述,0p时,)(xf在)0,[p或],0(p上是减函数)(xf在],(p或),[p上是增函数0p时,)(xf在)0,(或),0(上是增函数函数xpxyp范围0p0p定义域),0()0,(值域),2()2,(pp),(渐近线xy及0x奇偶性奇函数单调性在],(p及),[p分别单调递增在)0,[p及],0(p上分别单调递减在)0,(上递增,在),0(上递增另法,利用导数21)(xpxf)(122pxx(1)若0p则))((1)(2pxpxxxf(2)若0p,则0)(xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4]讨论分式函数xbaxxf)(的单调性(0ab)以下只研究0,0ba与0,0ba两种情形对于0,0ba与0,0ba可利用对称性得到。解:当0,0ba时,由2222))(()()(xabxabxaabxxaxbaxf利用导数可知)(xf在],(ab与),[ab上为单增函数)(xf在)0,[ab与],0(ab为单减函数当0,0ba时,由0)(2xbaxf知)(xf在)0,(与),0(上为增函数,图象如下[例5](1997全国)甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,且比例系数为b;固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶。解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs,全程运输成本为)()(2vabvsvsbvay,],0(cv(2)依题意vbas,,,都为正数,故有absbvvas2)(当且仅当bvva即bav时,上式中等号成立①若cba,则当bav...