【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及平面向量的应用模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2015·山东]已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析：在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2。答案：D2．[2015·四川]设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4。若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6解析：选择AB，AD为基向量。∵BM＝3MC，∴AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋AD，又DN＝2NC，∴NM＝NC＋CM＝AB－AD，于是AM·NM＝·＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16|AB|2－9|AD|2)＝9，故选C。答案：C3．[2015·陕西]对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≤|a|·|b|，选项A正确；根据向量减法的三角形法则可知边长|a－b|大于等于其他两边差的绝对值||a|－|b||，因此B错误；由平面向量数量积的性质和运算法则知C，D正确。故选B。答案：B4．[2015·福建]已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t。若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A．13B．15C．19D．21解析：依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(1,4)，B，C(0，t)，所以PB·PC＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t≤17－2＝13(当且仅当＝4t，即t＝时取等号)，所以PB·PC的最大值为13，故选A。答案：A5．[2015·安徽]△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC解析：∵AB＝2a，AC＝2a＋b，∴a＝AB，b＝AC－AB＝BC，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝AB·BC＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2AB＋BC＝AB＋AC，故(4a＋b)·BC＝(AB＋AC)·BC＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故选D。答案：D
