开卷速查(二十四)平面向量的概念及其线性运算A级基础巩固练1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|。则a与b共线同向，故D正确。答案：D2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝()A．b－aB．b＋aC．a＋bD．a－b解析：BE＝AE－AB＝AD＋DE－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB＝b－a。答案：A3．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D解析：因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线。答案：B4．[2016·攀枝花模拟]在△ABC中，已知D是AB边上一点，CD＝CA＋λCB，则实数λ＝()A．－B．－C.D.解析：如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则CD＝CE＋CF。因为CD＝CA＋λCB，所以CE＝CA，CF＝λCB。由△ADE∽△ABC，得＝＝，所以ED＝CF＝CB，故λ＝。答案：D5．[2016·泉州模拟]已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0。其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，BE＝BC＋CA＝a＋b，CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0。所以正确命题为②③④。答案：D6．[2016·兰州模拟]已知D为△ABC的边AB的中点。M在DC上且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为()A.B.C.D.解析：由5AM＝AB＋3AC得2AM＝2AD＋3AC－3AM，即2(AM－AD)＝3(AC－AM)，即2DM＝3MC，故DM＝DC，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5。答案：C7．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0。若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝__________。解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM＝AD，因为AD为中线，则AB＋AC＝2AD＝3AM，所以m＝3。答案：38．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__________。解析： BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD。即∴p＝－1。答案：－19．已知m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，则|m＋n|＝________。解析：由平行四边形的对角线与边的关系及|m－n|与|m＋n|为以m，n为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3。答案：310．设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线。解析：(1)证明： AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB。∴AB、BD共线，又 它们有公共点B，∴A，B，D三点共线。(2) ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb。∴(k－λ)a＝(λk－1)b。 a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0。∴k＝±1。B级能力提升练11．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为三角形ABC的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析：设AB的中点为M，则OA＋OB＝OM，∴OP＝(OM＋2OC)＝OM＋OC，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点。答案：B12．[2016·大理模拟]O是△ABC所在平面外一点且满足OP＝OA＋λ，λ为实数，则动点P的轨迹必经过△ABC的()A．重心B．内心C．外心D．垂心解析：如图，设＝AF，＝AE，已知AF，AE均为单位向量，故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，由OP＝OA＋λ得AP＝λAD，又AP与AD有公共点A，故A，D，P三点共线，所以P点在∠BAC的平分线上，故P的轨迹经过△ABC的内心。答案：B13．[2016·贵阳模拟]如图，在平行四边形ABCD...
