开卷速查(二十六)平面向量的数量积及平面向量的应用A级基础巩固练1．[2016·石家庄模拟]在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AC·BC＝1，则BC＝()A.B.C．2D．3解析：设∠A＝θ，因为BC＝AC－AB，AB＝4，AC＝3，所以AC·BC＝AC2－AC·AB＝9－AC·AB＝1。AC·AB＝8，cosθ＝＝＝，所以BC＝＝3。答案：D2．[2016·滨州模拟]已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．－1D．1解析：由已知得a＋2b＝(，3)，故(a＋2b)·c＝(，3)·(k，)＝k＋3＝0。解得k＝－3。答案：A3．[2016·南宁模拟]已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于()A．3B．－3C.D．－解析：由a∥b得cosα＝－2sinα，所以tanα＝－。所以2sinαcosα＝＝＝－。答案：D4．[2014·山东]已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－解析：根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意。答案：B5．[2016·兰州模拟]若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：因为(AB＋AC)·BC＝0，所以(AB＋AC)·(AC－AB)＝0，所以AC2－AB2＝0，即|AC|＝|AB|，又角A，B，C度数成等差数列，故2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以2∠B＝π－∠B，所以3∠B＝π，∠B＝，故△ABC是等边三角形。答案：C6．[2016·厦门模拟]在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是()A.B．2C.D．6解析：由AB·AC＝|AB||AC|cos120°＝－|AB||AC|＝－1得|AB||AC|＝2，|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2＋AB2－2AB·AC＝AC2＋AB2＋2≥2|AC||AB|＋2＝6，当且仅当|AC|＝|AB|时等号成立。所以|BC|≥，故选C。答案：C7．[2014·北京]已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝__________。解析： |a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)， λa＋b＝0，∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝。答案：8．[2014·课标Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为__________。解析：由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为90°。答案：90°9．[2014·江西]已知单位向量e1与e2的夹角为α，则cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝__________。解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝。答案：10．[2015·广东]在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈。(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值。解析：(1) m⊥n，∴m·n＝0。故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1。(2) m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝。又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值为。B级能力提升练11．[2016·厦门模拟]过点M(2,0)作圆x2＋y2＝1的两条切线MA，MB(A，B为切点)，则MA·MB＝()A.B.C.D.解析：过点M(2,0)作圆x2＋y2＝1的两条切线MA，MB(A，B为切点)，因为|OM|＝2，圆的半径为1，所以|MA|＝|MB|＝，且MA与MB的夹角为60°，故MA·MB＝|MA||MB|cos60°＝×cos60°＝，故选D。答案：D12．[2016·哈尔滨模拟]在△ABC中，若AB·AC＝7，|AB－AC|＝6，则△ABC面积的最大值为()A．24B．16C．12D．8解析：由题意可知AB＝c，AC＝b，所以b·ccosA＝7。所以cosA＝，因为|AB－AC|＝6，所以b2＋c2＝50≥2bc，所以bc≤25。因为S△ABC＝bcsinA＝bc＝bc＝≤＝12。答案：C13．[2015·陕西]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行。(1)求∠A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积。解析：(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0。由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝。由于0＜∠A＜π，所以∠A＝。(2)方法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，∠A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3...
