核心素养测评二十七平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=()A.-1B.-C.D.1【解析】选D.a·b=1×2+(-1)×x=2-x=1,所以x=1.2.(2020·十堰模拟)若夹角为θ的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|=()A.-2cosθB.2cosθC.-cosθD.cosθ【解析】选B.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2a·b+b2,a2=2a·b,|a|2=2|a||b|cosθ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cosθ=2cosθ.3.(多选)在直角坐标平面上,=(1,4),=(-3,1),且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等,则直线l的斜率k的值为()A.-B.C.-D.【解析】选BC.设直线l的一个方向向量为v=(1,k),由题意可得=,所以|1+4k|=|-3+k|,解得k=或-.4.(2019·广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()A.4B.2C.D.1【解析】选D.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4a·b+4b2=4,4-4·2|b|cos60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.(2020·山东新高考模拟)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=()A.3B.2C.-2D.-3【解析】选A.由题,得a-λb=(1+λ,1-3λ),由(a-λb)⊥c,从而2×(1+λ)+1×(1-3λ)=0,解得λ=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.【解析】因为
===120°,|a|=|b|=|c|=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=-,a·b+b·c+a·c=-.答案:-7.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),则向量m与n的夹角为________.世纪金榜导学号【解析】设m,n的夹角为θ,因为m⊥(m+n),所以m·(m+n)=m2+m·n=1+1×2cosθ=0,所以cosθ=-,又θ∈,所以θ=.答案:【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)·(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为________.【解析】设a与b的夹角为θ.由已知a2-2b2+a·b=-2,4-8+4cosθ=-2,cosθ=,又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为.答案:8.设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影为2,则a·b=________,e1与e2的夹角为________.【解析】设e1,e2的夹角为θ,因为a在b上的投影为2,所以=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2,解得cosθ=,则θ=.a·b=(2e1+e2)·e2=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2.答案:2【变式备选】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,·的最大值为1.答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.世纪金榜导学号(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|.(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).【解析】由已知a·b=4×8×=-16.(1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4.②因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,所以|4a-2b|=16.(2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,k=-7,所以当k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.世纪金榜导学号【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.所以所求的两条对角线的长分别为4,2.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-.(15分钟35分)1.(5分)(2020·潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为+1,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ,因为向量a、b为单位向量,a+b在a的方向上的投影为+1,所以(a+b)·a=|a|,变形得1+a·b=+1,即a·b=1×1×cosθ=cosθ=,又由0≤θ≤π,则θ=,故选A.2.(5分)(2019·开封模拟)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),所以a·b=2-2=0,所以充分性成立;...
