课时作业18平面向量基本定理(限时：10分钟)1．已知e1，e2是表示平面α内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析：由于4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，故选C.答案：C2．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1、e2不共线，则xy的值为()A．6B.C．－6D．－答案：A3．如图，OA、OB、OC的终点A、B、C在一条直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则以下等式成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p答案：A4．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a、b表示AG＝________.解析：AG＝AB＋BE＋EG＝a＋b＋BD＝a＋b＋b－a＝a＋b.答案：a＋b5．如图，在△ABC中，点D与点E分别在边BC和AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD和BE交于点R.求证：RD＝AD，RE＝BE.证明：∵A，R，D三点共线，∴存在实数λ，使RD＝λAD，则AR＝(1－λ)AD，∴CR＝CA＋AR＝CA＋(1－λ)AD＝CA＋(1－λ)(CD－CA)＝λCA＋(1－λ)CD＝λCA＋(1－λ)CB.①又∵B，R，E三点共线，∴存在实数μ，使RE＝μBE，则BR＝(1－μ)BE，∴CR＝CB＋BR＝CB＋(1－μ)BE＝CB＋(1－μ)(CE－CB)＝(1－μ)CE＋μCB＝(1－μ)CA＋μCB.②由①②得解得∴RD＝AD，RE＝BE.(限时：30分钟)1．若点G是△ABC的重心，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则GA＋GB＋GC等于()A．6GDB．－6GDC．－6GED．0解析：在△ABC中，G为重心，∴GC＝－2GD.又∵GA＋GB＝2GD，∴GA＋GB＋GC＝0，故选D.答案：D2．已知A，B，C三点共线，O是该直线外的一点，且满足mOA－2OB＋OC＝0，则m的值为()A．1B．2C．－3D．－4解析：∵mOA－2OB＋OC＝0，∴OC＝2OB－mOA.∵A、B、C三点共线，∴由共线向量定理的推论知m＝1.答案：A3．已知OA·x2＋OB·x－OC＝0(x∈R)，其中A，B，C三点共线，O是直线外一点，则满足上述条件的x值的情况为()A．不存在B．有一个C．有两个D．以上情况均有可能解析：由OA·x2＋OB·x－OC＝0可得OA·x2＋OB·x＝OC，再由A、B、C三点共线，O是线外一点，可得x2＋x＝1，此方程有两个根，故满足条件的x值有两个．答案：C4．设O，A，M，B为平面上四点，OM＝λOB＋(1－λ)·OA，且λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O、A、B、M四点共线解析：由OM＝λOB＋(1－λ)OA，得OM－OA＝λ(OB－OA)，即AM＝λAB.又因为λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．答案：B5．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB＝OA＋OC，则|AB|∶|BC|＝()A．1∶3B．3∶1C．1∶2D．2∶1解析：∵OB＝OA＋OC，∴OB－OA＝OC－OB，即AB＝BC，也就是AB＝2BC，∴|AB|∶|BC|＝2∶1.答案：D6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记AB，BC分别为a，b，则AH＝()A.a－bB.a＋bC．－a＋bD．－a－b解析：设AH＝λAF，DH＝μDE.∵F为CD的中点，∴AF＝(AC＋AD)．∴AH＝(AC＋AD)＝(AB＋2BC)＝AB＋λBC.AH＝AD＋DH＝AD＋μDE＝AD＋μ(AE－AD)＝(1－μ)BC＋μ(AB＋BC)＝μAB＋(1－)BC.根据平面向量基本定理有＝μ，λ＝1－.解得μ＝，λ＝.因此有AH＝a＋b.故选B.答案：B7．已知数轴上点A，B的坐标分别是－8，－3，则AB的坐标为________，长度为________．答案：558．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.答案：－49．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若AB＝a，AD＝b，试用a、b表示BC和MN，则BC＝________，MN＝________.解析：如图，则有AC＋CD＝AC＋AB＝AD＝b，AC＝b－a.∴BC＝AC－AB＝b－a.MN＝MC＋CA＋AN＝－a＋＋a＝a－b.答案：b－a，a－b10．如图，在△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，试用a与b表示BE.解析：BE＝AE－AB＝AD－AB＝(AB＋BD)－AB＝AB＋×BC－AB＝AB＋(AC－AB)－AB＝－AB＋AC＝－a＋b.11．如图，在△AOB中，OA＝a，OB＝b，设AM＝2MB，ON＝3NA，而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量OP.解析：OM＝OA＋AM＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝a＋(b－a)＝a＋b.因为OP与OM共线，令OP＝tOM，则OP＝t.又设OP＝(1－m)ON＋mOB＝(1－m)a＋mb所以所以所以OP＝a＋b.12．P是△ABC内一点，且满足条件AP＋2BP＋3CP＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP＝p，用p表示CQ.解析：如图：因为AP＝AQ＋QP，BP＝BQ＋QP，所以(AQ＋QP)＋2(BQ＋QP)＋3CP＝0，所以AQ＋3QP＋2BQ＋3CP＝0.又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，所以AQ＝λBQ，CP＝μQP，所以λBQ＋3QP＋2BQ＋3μQP＝0，所以(λ＋2)BQ＋(3＋3μ)QP＝0.而BQ，QP为不共线向量，所以所以λ＝－2，μ＝－1，所以CP＝－QP＝PQ，故CQ＝CP＋PQ＝2CP＝2p.
