课下能力提升(二十一)[学业水平达标练]题组1平面向量在平面几何中的应用1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：选B由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：选B由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||知▱ABCD的邻边相等，∴四边形ABCD为菱形．3．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选D＋是向量，方向上的两个单位向量的和，它在∠A的平分线上，由·＝0，知此三角形为等腰三角形，再由·＝知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)，设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E.故＝，||＝，即ED＝.答案：5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a，∴·＝·＝b2－a2＋a·b.又⊥，且||＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE.题组2向量在物理中的应用6．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500J.答案：15008．在水流速度为4km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．解：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作▱ABCD，则就是船的航行速度． ||＝4，||＝12，∴||＝||＝8，tan∠ACB＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即船的航行速度的大小为8km/h，方向与水流方向的夹角为120°.[能力提升综合练]1．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：选A假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．2．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于()A.B.C．2D．3解析：选B·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为||，所以·＝||·||＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：选DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.5．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.答案：－6．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a...
