课下能力提升(二十一)[学业水平达标练]题组1平面向量在平面几何中的应用1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：选B由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0
2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：选B由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||知▱ABCD的邻边相等，∴四边形ABCD为菱形．3．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选D＋是向量，方向上的两个单位向量的和，它在∠A的平分线上，由·＝0，知此三角形为等腰三角形，再由·＝知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)，设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E
故＝，||＝，即ED＝
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a，∴·＝·＝b2－a2＋a·b
又⊥，且||＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE
