【优化方案】2016高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积训练案知能提升新人教A版必修4[A.基础达标]1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选D.因为(a·b)c是与c共线的向量，(c·a)b是与b共线的向量，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等，排除①.因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(b·c)a－(c·a)b与c垂直，所以排除③，故选D.2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.B．C.D．解析：选C.因为a·b＝|a||b|cosθ，所以1×4cosθ＝2，即cosθ＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.3．已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.B．C.D．4解析：选C.因为|a|＝|b|＝1，又a与b的夹角为60°，所以|a＋3b|2＝|a|2＋6a·b＋9|b|2＝1＋6×cos60°＋9＝13.即|a＋3b|＝.4．在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OD是AB边上的高，若AD＝λAB，则λ等于()A.B．C.D．解析：选B.由题意知OD·AB＝0，即AB·(OA＋AD)＝0，所以AB·(OA＋λAB)＝0，所以λ＝－＝－＝，故选B.5．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为()A.－1B．1C.＋1D．解析：选A.因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，所以a·b＝0，所以|a－b|＝＝＝，所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|＝－1.6．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则|2e1－e2|＝________．解析：|2e1－e2|＝＝＝＝.答案：7．在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，B＝30°，则向量AB在向量AC上的投影等于________．解析：因为等腰△ABC中，AB＝AC＝1，B＝30°，所以∠BAC＝120°，因此向量AB在向量AC上的投影为|AB|cos120°＝－.答案：－8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或5设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角为60°，求k的值．解：(1)因为|ka＋b|＝|a－kb|，所以(ka＋b)2＝3(a－kb)2，且|a|＝|b|＝1，1即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，所以a·b＝.因为k2＋1≠0，所以a·b≠0，即a与b不垂直．(2)因为a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝.所以＝.所以k＝1.10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5.因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，所以9－6a·b＋1＝5，所以a·b＝.所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝.所以cosθ＝＝＝.因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝＝＝.所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.[B.能力提升]1.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC·BD＝()A．a2－b2B．b2－a2C．a2＋b2D．a·b解析：选B.因为AD⊥DC，所以AC在AD方向上的投影为|AC|·cos∠CAD＝|AD|，又AB⊥BC，所以AC在AB方向上的投影为|AC|·cos∠CAB＝|AB|.所以AC·BD＝AC·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB＝|AD||AD|－|AB||AB|＝b2－a2.2．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()A．2B．4C．5D．10解析：选D.＝＝＝＝＝－6＝42－6＝10.3．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析：根据题意，得＝＝＝＝＝＝.因为＋≥，所以0<≤4，所以0<≤2.故的最大值为2.答案：24．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．解析：设AB的长为a(a>0)，又因为AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝AD－AB，于是AC·BE＝(AB＋AD)·＝AB·AD－A...
