【优化方案】2016高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理训练案知能提升新人教A版必修4[A.基础达标]1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．2e1＋e2和2e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析：选B.因为B中4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以3e1－2e2和4e2－6e1共线不能作为基底．2．四边形OABC中，CB＝OA，若OA＝a，OC＝b，则AB＝()A．a－bB.－bC．b＋D．b－a解析：选D.AB＝AO＋OC＋CB＝－a＋b＋a＝b－a，故选D.3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是()A．λ1＝1B．λ1＝2C．λ1＝3D．λ1＝4解析：选B.b＝4e1＋2e2＝2(2e1＋e2)，因为a，b共线，所以λ1＝2.4．若P为△OAB的边AB上一点，且△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，则有()A.OP＝OA＋2OBB.OP＝2OA＋OBC.OP＝OA＋OBD.OP＝OA＋OB解析：选C.因为△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，所以AP＝AB，所以OP－OA＝(OB－OA)，所以OP＝OA＋OB.5．已知|OA|＝2，|OB|＝，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则＝()A.B．C.D．解析：选B.如图，过点C作CM∥OB，CN∥OA，则OC＝OM＋ON，设|ON|＝x，则|OM|＝2x，OC＝2x·＋x·＝xOA＋xOB，所以m＝x，n＝，所以＝＝.6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量AM＝________．解析：AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a.答案：b＋a7．设a，b是两个不共线向量，已知AB＝2a＋kb，CB＝a＋b，CD＝2a－b，若A、B、D三点共线，则k＝________．解析：因为CB＝a＋b，CD＝2a－b，所以BD＝CD－CB＝(2a－b)－(a＋b)＝a－2b.因为A、B、D三点共线，所以AB＝λBD，所以2a＋kb＝λ(a－2b)＝λa－2λb.又a，b是两个不共线向量，所以所以k＝－4.答案：－48.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．解析：由点D是圆O外一点，可设BD＝λBA(λ＞1)，则OD＝OB＋λBA＝λOA＋(1－λ)OB.又C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ＞1)，则OC＝－·OA－OB(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．1答案：(－1，0)9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出来．解：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－b－(a－b)＝－a＋b，PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝AB＋AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，求x，y的值．解：(1)由AM＝AB＋AC可知M，B，C三点共线，如图，令BM＝λBC⇒AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC⇒λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.(2)由BO＝xBM＋yBN⇒BO＝xBM＋BA，BO＝BC＋yBN，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒[B.能力提升]1．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()A.B．C．1D．3解析：选B.因为AN＝NC，所以BN－BA＝(BC－BN)，则BN＝BA＋BC；因为AP＝mAB＋AC，所以BP－BA＝－mBA＋(BC－BA)，即BP＝(－m)BA＋BC；因为P是BN上的一点，所以BN＝λBP，所以－m＝，即m＝.2．如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP＝ma＋nb，则m＋n＝()A.B．C.D．1解析：选C.由题意可得AP＝2QP，QB＝2QR，因为AB＝a＝AQ＋QB＝AP＋2QR，①AC＝AP＋PC＝AP＋RP＝AP＋QP－QR＝AP＋AP－QR＝AP－QR＝b，②由①②解方程求得AP＝a＋b.再由AP＝ma＋nb可得m＝，n＝，m＋n＝.3．如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC＝OD＋OE.在Rt△OCD中，因为|OC|＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，...
