3．2平面向量基本定理,)1．问题导航(1)平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？(2)在平面向量基本定理中为何要求向量e1，e2不共线？(3)对于同一向量a，若基底不同，则表示这一向量a的实数λ1，λ2的值是否相同？2．例题导读P86例4.通过本例学习，学会应用平面向量基本定理解决实际问题．试一试：教材P87习题2－3A组T7你会吗？P86例5.通过本例学习，学会用已知向量表示其他向量．试一试：教材P87习题2－3A组T5，T6你会吗？1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2．三点共线的充要条件平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β，使得OA＝αOB＋βOC.其中α＋β＝1，O为平面内任意一点．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.()解析：(1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．(3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB，DCB.AD，BCC.AD，CBD．AB，BC解析：选D.因为AB，BC不共线，故是一组基底．3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．解析：由原式可得解得所以x－y＝3.答案：34．已知向量a与b不共线，且AB＝a＋4b，BC＝－a＋9b，CD＝3a－b，则共线的三点为________．解析：BD＝BC＋CD＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为AB＝a＋4b，所以AB＝BD，所以A，B，D三点共线．答案：A，B，D1．定理的实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．2．分解的唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．体现的数学思想1平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决．对基底的理解设e1，e2是同一平面内不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(写出满足条件的序号)[解析]由基底的定义可将此问题转化为判断各组中的两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底．①中，设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；②中，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；③中，因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底；④中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，所以无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．[答案]③方法归纳同一平面内的两个向量能不能作为基底，关键是看它们共不共线，在同一平面内，只要两个向量不共线，就可以作为一组基底．1．(1)设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点，下列向量组可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量的基底的是()①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.A．①②B．④C．①③D．①④(2)设a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．解：(1)选C.判断两个向量能否作基底，只需看两个向量是否共线，由图可知AD与AB不共线，CA与DC不共线，故①③可作为基底．(2)假设存...
