§6平面向量数量积的坐标表示A组1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=()A.20B.54C.(-10,30)D.(-8,24)解析:∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6),∴(a·b)(a+b)=(-10,30).答案:C2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是()A.B.C.D.解析:a+b=(3,k+2),又a+b与a共线,所以k+2=3k,解得k=1,于是a=(1,1),设a与c夹角为θ,则cosθ=.答案:B3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=()A.4B.3C.D.4解析:由已知得=(1,k-1),而由题意得,即=-3+k-1=0,故k=4.答案:D4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是()A.B.C.D.解析:由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为.答案:D5.导学号03070107直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为()A.x-3y+15=0B.x-3y+5=0C.x+3y-5=0D.x-3y-15=0解析:由l1⊥l2知a⊥b,因此,由-1+3k=0,得k=,所以直线l2的斜率即为,又l2过点(0,5),所以l2方程为y-5=x,即x-3y+15=0.答案:A6.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=.解析:由题意知b=λ(1,-2)=(λ,-2λ)(λ<0).又|b|=3,∴=3.∴5λ2=45,∴λ2=9.∵λ<0,∴λ=-3.∴b=(-3,6).答案:(-3,6)7.直线y=2x-1与直线x+y=1的夹角的余弦值为.解析:由已知得两直线的方向向量分别是m=(1,2),n=(1,-1),于是cosθ==-,于是两直线的夹角的余弦值是.答案:8.在直角三角形ABC中,∠C=90°,E,F是斜边AB的两个三等分点,且AC=6,BC=8,那么=.解析:以C为原点,CB,CA分别为x轴、y轴建立坐标系,由已知可得,C(0,0),E,F,于是,于是.答案:9.已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)求a-b及|a-b|;(2)求ka+b与a-b垂直,求实数k的值.解:(1)a-b=(4,0),|a-b|==4.(2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0).∵(ka+b)⊥(a-b),∴(ka+b)·(a-b)=4(k-3)+(2k+2)·0=0,解得k=3.10.导学号03070108已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),∵|c|=2,∴=2,即x2+y2=20.由c∥a和|c|=2,可得解得故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,∴cosθ==-1.又θ∈[0,π],∴θ=π.B组1.已知向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b夹角的余弦值为()A.B.-C.±D.解析:由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16)得a=(-3,4),b=(5,-12),所以cos
==-,故选B.答案:B2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的射影为()A.B.C.-D.-解析:=(2,1),=(5,5),向量方向上的射影为||cos<>=|.答案:A3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()A.(-2,+∞)B.C.(-∞,-2)D.(-2,2)解析:由a·b=2+k>0得k>-2,又当a∥b时,2k=1,k=,所以a与b夹角为锐角时,k的范围是.答案:B4.(2016江西吉安高三月考)△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=1,设点P,Q满足=λ=(1-λ),λ∈R,若=-2,则λ=()A.B.C.D.2解析:以点A为坐标原点,为x轴的正方向,为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,由题意知B(2,0),C(0,1),P(2λ,0),Q(0,1-λ),则=(-2,1-λ),=(2λ,-1),∵=-2,∴-2×2λ+(1-λ)×(-1)=-2,解得λ=,故选A.答案:A5.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则t的值为.解析:∵a=(4,-3),b=(2,1),∴a+tb=(4+2t,-3+t).∵a+tb与b的夹角为45°,∴(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,∴2(4+2t)+(-3+t)×1=,∴5t+5=.∴(t+1).①将①式两边平方得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3.而t=-3时,①式无意义,∴t=-3舍去,故t=1.答案:16.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则=(2,6),=(4,4),所以||=2,||=4.故所求的两条对角线的长分别为2,4.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.7.导学号03070109在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?解:因为a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d).所以(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.由于a·b=c·d,所以|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理,有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②由①②可得|a|=|c|,且|b|=|d|,即四边形ABCD的两组对边分别相等.所以四边形ABCD是平行四边形.又由a·b=b·c得b·(a-c)=0.而由平行四边形ABCD的性质得a=-c,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0.所以a⊥b,亦即AB⊥BC.综上所述,四边形ABCD是矩形.8.导学号03070110如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求的值;(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.解:(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,此时=(-10,0),所以=-×(-10)+×0=14.(2)设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数.
