高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示自主训练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.6平面向量数量积的坐标表示自主广场我夯基我达标1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（）A.34B.27C.-43D.-6思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a·b=-4×5+7×2=-6.答案：D2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是（）A.3B.-1C.-1或3D.-3或1思路解析：欲求x的值，只需建立关于x的方程，由条件（2a-b）⊥b（2a-b）·b=0，即可得出x的方程. （2a-b）⊥b，∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.答案：C3．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于（）A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)思路解析：由题意，b与a共线，再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程，即可解出.方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3，6).方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.答案：A4．(2006天津高考卷，文12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cosθ=________________.思路解析：由题意，得b=a+(-1,1)=（1,2），则a·b=9，|a|=，|b|=，∴cosθ=.答案：5.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，若c⊥a，则c=_________________.思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.答案：（）6.已知a=（3，-1），b=（1，2），x·a=9与x·b=-4，向量x的坐标为_______________.思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=（t，s），由答案：（2，-3）7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2），（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.思路分析：（1）欲求向量c，同前面的题目类似，可以设出向量c的坐标，然后建立c的坐标方程，可得解法一.另外注意到c∥a，故存在实数λ，使c=λa，则|c|=|λa|，即|λ|=.故可求出λ，也就能求出c，得解法二.（2）欲求a与b的夹角θ，可根据cosθ=来求cosθ，然后再求θ.故只需求出ab和|a||b|即可.由题意易知|a||b|，关键是求a·b.又有a+2b与2a-b垂直，故可以得到（a+2b）·（2a－b）=0.进一步可求出a·b的值.（1）解法一：设c=（x，y）. |c|=，∴=，即x2+y2=20.①又c∥a，∴2x－y=0.②由①②可得或即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.解法二： c∥a，故可设c=λa，则|λ|==2.∴λ=±2.即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.（2）解： a=（1，2），∴|a|=.又|b|=，故|a||b|=.又 （a+2b）⊥（2a-b），∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.∴cosθ=.又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.我综合我发展8.已知a=（3，4），b=（4，3），求实数x、y的值使（xa+yb）⊥a，且|xa+yb|=1.思路分析：首先写出（xa+yb）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.解：由a=（3，4），b=（4，3），有xa+yb=（3x+4y，4x+3y）. （xa+yb）⊥a，∴（xa+yb）·a=0.∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0，即25x+24y=0.①又 |xa+yb|=1,∴（3x+4y）2＋（4x+3y）2=1.整理得25x2＋48xy+25y2=1.②由①②联立方程组，解得和9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，-＜θ＜.（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值.思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a＋b｜，先化简再求最值.解：（1） a⊥b，∴sinθ＋cosθ=0.∴tanθ=-1(-＜θ＜).∴θ=.（2） a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).∴｜a+b｜==.当sin(θ+)=1时，|a＋b|取得最大值，即当θ=时，|a＋b|的最大值为.10.平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|，另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当⊥时，t=___________秒.思路解析：用t表示出，列出方程即可求解. P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴=(-1,-3).又 e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=...