2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义更上一层楼基础•巩固1.若|a|=4，|b|=3，a·b=-6，则a与b的夹角等于()A.150°B.120°C.60°D.30°思路分析:因为a·b=|a||b|cosθ，所以cosθ=.∴θ=120°.答案:B2.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12思路分析:将(a+2b)·(a-3b)=-72展开，即a2+2a·b-3a·b-6b2=-72，∴|a|2-a·b-6|b|2+72=0，即|a|2-|a||b|cos60°-24=0.∴|a|2-2|a|-24=0，解得|a|=6或|a|=-4(舍去).故|a|=6.答案:C3.已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是()A.B.C.D.思路分析:∵(a-2b)⊥a，∴(a-2b)·a=0，即|a|2-2a·b=0.①又∵(b-2a)⊥b，∴(b-2a)·b=0，即|b|2-2a·b=0.②由①②知|a|=|b|，a·b=|a|2=|b|2，∴cos〈a，b〉=.∴a与b的夹角为.答案:B4.设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c-(c·a)b=0；②|a|-|b|<|a-b|；③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直；④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.①②B.②③C.③④D.②④思路分析:①错误，因向量的数量积不满足结合律.③错误，因［(b·c)a-(c·a)b］·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0，则(b·c)a-(c·a)b与c垂直.②④都是正确的.答案:D综合•应用5.若O为△ABC所在平面内一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A、B、C均不是思路分析:由，得·(+)=0，又∵=-，∴(-)·(+)=0，即||2-||2=0.∴||=||.∴△ABC为等腰三角形.答案:C6.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于___________.思路分析:∵||2+||2=||2，∴∠B=90°cos∠ABC=0，cos∠BAC=，cos∠BCA=.∴原式=3×4×0+4×5×(-)+3×5×()=-25.答案:-257.已知a、b为非零向量，当t=__________时，a+tb(t∈R)的模取最小值.思路分析:由|a+tb|2=t2|b|2+2ta·b+|a|2是关于t的二次式，∴当t=时，a+tb的模取最小值，即.答案:8.已知|a|=4，|b|=5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ=0°，∴a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.若a与b反向，则θ=180°，∴a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时，θ=90°，a·b=|a||b|cos90°=0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos30°=4×5×=.回顾•展望9.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a-b)⊥c；(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.思路分析:证明向量垂直问题，一般考虑利用向量的数量积为零.要解决模的问题，往往转化成与模平方有关的问题来解决.(1)证明：∵|a|=|b|=|c|=1且a、b、c之间的夹角均为120°，∴(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0.∴(a-b)⊥c.(2)解：∵|ka+b+c|>1，∴(ka+b+c)·(ka+b+c)>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.∵a·b=a·c=b·c=cos120°=-，∴k2-2k>0.解得k<0或k>2，即k的取值范围是k<0或k>2.
