高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义检测 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

第二章2.42.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义A级基础巩固一、选择题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC是(A)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形[解析]由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(C)A．2B．C．2D．4[解析]a在b方向上的投影为|a|cosa，b＝4×cos30°＝2，故选C．3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(B)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[解析]A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(C)A．2B．4C．6D．12[解析] (a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72．∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．∴|a|2－2|a|－24＝0.又 |a|≥0，∴|a|＝6．5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(C)A．B．C．D．[解析]由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosa，b＝＝＝－，所以a，b＝，故选C．6．P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的(D)A．外心B．内心C．重心D．垂心[解析]由PA·PB＝PB·PC得PB·(PA－PC)＝0，即PB·CA＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．二、填空题7．(江苏高考)已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为．[解析]由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝．8．已知向量a、b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝3．[解析]|2a－b|＝⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos45°＝10⇔|b|＝3．三、解答题9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)(3a)·；(3)(3b－2a)·(4a＋b)．[解析](1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60．(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36．(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解析](1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61． |a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝＝＝．(2) a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝．B级素养提升一、选择题1．(2018·四川绵阳期末)下列命题中错误的是(B)A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|[解析]当a⊥b时，a·b＝0也成立，故B错误．2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(B)A．－8B．8C．－8或8D．6[解析]由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8．3．若非零向量a、b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(A)A．B．C．D．π[解析]由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3·(|b|)2－2b2＝b2，所以cosa，b＝＝＝，所以a，b＝，故选A．4．已知△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是(C)A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]由AB2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，得AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，即AB·CB＝BC·BC，∴AB·BC＋BC·BC＝0，∴BC·(AB＋BC)＝0，则BC·AC＝0，即BC⊥AC，所以△ABC是直角三角形，故选C．二、填空题5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为－．[解析] |a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a·b〉＝＝＝－．6．已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|...