2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若e1、e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是()A.e1·e2=1B.e1·e2=-1C.e1·e2=±1D.｜e1·e2｜＜1解析：两个平行的单位向量，当它们的方向相同时，数量积为1，当它们的方向相反时，数量积为-1.答案：C2.判断正误，并简要说明理由.①a·0=0；②0·a=0；③0-=；④｜a·b｜=｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.解：上述7个命题中只有③⑦正确：对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②：应有0·a=0；对于④：由数量积定义有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；对于⑤：若非零向量a、b垂直，则有a·b=0；对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.3.已知｜a｜=3，｜b｜=6，当：①a∥b;②a⊥b;③a与b的夹角为60°时，分别求a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18；若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18.②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，∴a·b=0.③当a与b的夹角是60°时，有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.4.已知｜a｜=10，｜b｜=12，a与b的夹角为120°，求a·b.解：由定义，a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2006高考四川卷，理7)如图2-4-1，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()图2-4-1A.，B.，C.，D.，解析：在正六边形中|P1P2|的长度设为1，则|P1P3|=,|P1P4|=2,|P1P5|=,|P1P6|=1.由数量积的计算公式，得=1×cos30°=,=1×2cos60°=1，=1×2cos90°=0,=1×1cos120°=，∴为最大.答案：A2.(2006高考福建卷，理11)已知｜｜=1,｜｜=,·=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R)，则等于()A.B.3C.D.解析：设的模长为a，则由向量加法的几何意义得两式相除得=3.答案：B3.给出下列命题：①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.其中，正确命题的序号是______________________.解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.① ·＜0，∴·=-·＞0，∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.② ·＞0，∴·=-·＜0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0；另一方面，由·≠0只能得出∠B不是直角，但∠A或∠C中可能有一个直角.故命题④是真命题.答案：②④4.若向量a,b,c满足a+b+c=0，且｜a｜=3,｜b｜=1,｜c｜=4,则a·b+b·c+a·c=_____________.解法一： a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0,∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-135.已知a,b是两个非零向量，同时满足｜a｜=｜b｜=｜a-b｜，求a与a+b的夹角.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，∴a·b=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法二：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， |a|=|b|,∴.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(),即a·b=().由|a+b|2=2()+2×()=3()，得|a+b|=().设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB. |a|=|b|，即||=||，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.∴△AOB为正三角形，则∠A...
