课时分层作业(十九)复数的三角表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．复数－i的三角形式是()A．cos＋isinB．cos＋isinC．cos－isinD．cos＋isinA[－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin.]2．复数sin50°－isin140°的辐角的主值是()A．150°B．40°C．－40°D．320°D[sin50°－isin140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos320°＋isin320°.]3．复数sin4＋icos4的辐角的主值为()A．4B．－4C．2π－4D．－4D[sin4＋icos4＝cos＋isin.]4．若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ的值为()A．B．或C．2kπ＋(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)D[因为cosθ＋isinθ＝sinθ＋icosθ，所以cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．]5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cosθ－isinθ)的三角形式是()A．B．C．D．A[因为1＋i＝，cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cosθ－isinθ)＝＝.]二、填空题6．已知z＝cos＋isin，则argz2＝________.π[因为argz＝，所以argz2＝2argz＝2×＝.]7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．1－i[(1＋i)＝＝＝＝1－i.]8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是________．[由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝.]三、解答题9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．[解]因为z1＝2，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.[解]由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，所以z2＝＝＋i，z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2＝－＋i.11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是()A．1B．－1C．－D．－B[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，所以所以a＝－1，故选B．]12．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为()A．2π－3θB．3θ－2πC．3θD．3θ－πB[＝＝cos3θ＋isin3θ.因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜，所以π＜3θ－2π＜，故选B．]13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈，则z的三角形式为________．z＝2[由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.因为argz∈，所以z＝－1－i应舍去，所以z＝－1＋i＝2.]14．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．[解]由题意可设z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ.因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，所以＝＋i，即所以所以tan＝，故tan(α＋β)＝＝.
