课时分层作业(十八)复数的乘、除运算(建议用时：40分钟)一、选择题1.＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iD[＝＝－1－i，选D．]2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋iC[z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C．]3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．]4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－C．4D．D[∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＋i.故z的虚部为，选D．]5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于()A．B．C．－D．－A[∵z2＝t＋i，∴z2＝t－i.z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·z2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.]二、填空题6．i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.1[∵z＝＝＝＝i，∴＝－i，∴z·＝1.]7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.1[∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.[∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.]三、解答题9．已知复数z＝.(1)求z的实部与虚部；(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值．[解](1)z＝＝＝2＋i，所以z的实部为2，虚部为1.(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，即2m＋n＋3＋(4－m)i＝1－i，所以解得m＝5，n＝－12.10．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.∴＝＝＝＝＋i.11．(多选题)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1BD[∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确．故选BD．]12．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2D．若|z1|＝|z2|，则z＝zABC[A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题；B，z1＝2⇒1＝2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·1＝z2·2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]13．(一题两空)若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________，z1z2＝________.16－i[＝＝＝＝，∵为纯虚数，∴∴a＝.∴z1·z2＝(3－4i)＝8－i＋6i＋8＝16－i.]14．已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．[解]因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，所以解得]15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u＝，证明u为纯虚数．[解](1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.因为ω是实数且y≠0，所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，即|z|＝1.此时ω＝2x.因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，从而有－＜x＜1，即z的实部的取值范围是.(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，由(1)知，x2＋y2＝1，∴u＝＝＝＝＝－i.因为x∈，y≠0，所以≠0，所以u为纯虚数.
