课时分层作业(十五)数系的扩充和复数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题：(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；(2)x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为()A．－2B．3C．－3D．±3B[由题知解得m＝3，故选B．]3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－＋iD．＋iA[3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A．]4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4C[由题意知解得a＝－4.]5．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]二、填空题6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.－2[∴m＝－2.]7．(一题两空)已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.2±2[由复数相等的充要条件有⇒]8．下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．③[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]三、解答题9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．[解]∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，∴x＜－1，∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.11．(多选题)下列命题正确的是()A．1＋i2＝0B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋iC．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0D．两个虚数不能比较大小AD[对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．]12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝()A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋iB[由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.所以解得所以z＝3－i.]13．(一题两空)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________.－12[由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以有解得x＝－1，y＝2.]14．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．[解](1)∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2.(2)由z1＝z2，得∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.∵－1≤sinθ≤1，∴当sinθ＝1时，λmin＝2，当sinθ＝－1时，λmax＝6，∴实数λ的取值范围是[2,6]．
