3.2.1倍角公式课时跟踪检测[A组基础过关]1.(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα-cosα=,则sin2α=()A.-B.-C.D.解析:由sinα-cosα=,得sin2α-2sinαcosα+cos2α=,∴1-sin2α=,∴sin2α=-.故选A.答案:A2.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=的最小正周期为()A.B.C.πD.2π解析:由已知得f(x)的定义域为,且f(x)===sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期T==π,故选C.答案:C3.若=,则tan2α=()A.-B.C.-D.解析:由=,得=,∴tanα=-3,∴tan2α==,故选B.答案:B4.已知cosα=-,则cos2α等于()A.B.-C.D.-解析:cos2α=2cos2α-1=-,故选B.答案:B5.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于()A.B.C.D.1+解析:利用诱导公式变形产生平方关系式和倍角公式的形式,从而有原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=1+=.答案:C6.设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是________.解析:∵sin2α=-sinα,∴2sinαcosα=-sinα.∵α∈,∴sinα≠0,∴cosα=-,∴sinα=,tanα=-,∴tan2α===.答案:7.已知sin2α=,则cos2=________.解析:cos2===.答案:8.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x+2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.解:(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x+2=sin2x+cos2x+2=2sin+2,∵2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤π,∴-≤sin≤1,∴-+2≤f(x)≤4,∴f(x)的最大值为4,最小值为2-.[B组技能提升]1.已知α∈R,sinα+3cosα=,则tan2α=()A.B.C.-D.-解析:由sinα+3cosα=,得(sinα+3cosα)2=5,∴sin2α+6sinαcosα+9cos2α=5,∴=5,∴=5,∴2tan2α-3tanα-2=0,∴tanα=-或tanα=2.当tanα=-时,tan2α==-;当tanα=2时,tan2α==-.故选D.答案:D2.函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期是()A.B.C.πD.2π解析:y=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-,∴T==π,故选C.答案:C3.已知sinxcosx+3cos2x-=Asin(2x+φ),其中A>0,0<φ<,则A=________,φ=________.解析:sinxcosx+3cos2x-=sin2x+3×-=sin=Asin(2x+φ),∵0<φ<,∴A=,φ=.答案:4.若函数f(x)=1-2sin2+2sincosx+,则函数f(x)的最小正周期是________.解析:∵f(x)=cos+sin=sin2x+,∴T==π.答案:π5.已知cos=,x∈.(1)求sinx的值;(2)求sin的值.解:(1)因为x∈,所以x-∈,于是sin==.sinx=sin=sincos+cossin=×+×=.(2)因为x∈.故cosx=-=-=-.sin2x=2sinxcosx=-.cos2x=2cos2x-1=-.所以sin=sin2xcos+cos2xsin=-.6.设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)在[0,π]上的单调增区间;(2)把y=f(x)的图象向左平移个单位,再把得到的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求g的值.解:(1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x+2sinxcosx-1=2·+sin2x-1=sin2x-cos2x+-1=2sin+-1.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)在[0,π]上的单调增区间是,.(2)由题可得g(x)=2sin+-1,∴g=+1.