第1课时向量数量积的物理背景及其含义[学生用书P111(单独成册)])[A基础达标]1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为()A．B．C．3D．5解析：选C．由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为()A．B．C．D．解析：选C．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是()A．2B．4C．6D．12解析：选C．因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C．4．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则AB·BC等于()A．－B．C．－D．解析：选C．因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以AB·BC＝1××cos150°＝－.5．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：选D．因为AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，所以AB2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，所以AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，所以AB·CB＝BC2，所以BC·(BC＋AB)＝0，所以BC·AC＝0，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．6．已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________．解析：因为·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|a||b|cos60°－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2，即16＋|b|－3|b|2＝12，所以3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝.答案：7．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．解析：由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2，即2＝25－AD·AB－×64，解得AD·AB＝22.答案：228．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是________．(只填序号)①P1P2·P1P3；②P1P2·P1P4；③P1P2·P1P5；④P1P2·P1P6.解析：根据正六边形的几何性质，得P1P2·P1P5＝0，P1P2·P1P6＜0，P1P2·P1P3＝|P1P2|·|P1P2|·cos＝|P1P2|2，P1P2·P1P4＝|P1P2|·2|P1P2|·cos＝|P1P2|2，经比较可知P1P2·P1P3的数量积最大．答案：①9．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为.求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)|a＋b|.解：(1)(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×32－8×3×4cos＋4×42＝91＋48.(2)|a＋b|＝＝＝＝.10．已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，求a与b的夹角．解：因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，即a2－2a·b＝0.因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2－2a·b＝0.所以a2＝b2，即|a|＝|b|.a·b＝a2，即a·b＝|a|2.所以cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.[B能力提升]1.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝________．解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB，又因为BC＝AC－AB，AC2＝1，AB2＝4，且AB·AC＝2×1×cos120°＝－1，所以AD·BC＝·(AC－AB)＝AC2－AB2＋AC·AB＝－.答案：－2．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则AO·AM＝________．解析：因为M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)，又O是△ABC的外接圆圆心，所以AB·AO＝|AB||AO|·cos∠BAO＝|AB|2＝8，同理可得AC·AO＝|AC|2＝2，所以AM·AO＝(AB＋AC)·AO＝AB·AO＋AC·AO＝4＋1＝5.答案：53．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0，由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.所以AP·BP＝(AD＋DP)·(BC＋CP)＝·＝AD2－AD·DC－DC2＝36－×81＝18.(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AB·AD－AB2＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.又AP·BP＝6，所以18－AB·AD＝6，所以AB·AD＝36.又AB·AD＝|AB|·|AD|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝.所以AB与AD夹角的余弦值为.4．(选做题)已知向量a，b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．解：法一：因为a2＝9，所以|a|＝3.又a·b＝－12.所以|a·b|＝12.又因为|a·b|≤|a||b|.所以12≤3|b|，解得|b|≥4.故|b|的取值范围是[4，＋∞)．法二：因为a·b＝|a||b|cosθ(其中θ为a与b的夹角)．又由a2＝9，得|a|＝3，由a·b＝－12，得θ≠90°.即cosθ≠0.所以|b|＝＝＝.因为－1≤cosθ<0，所以|b|≥4.故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
