2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律课时跟踪检测[A组基础过关]1．下列命题：①若a≠0，且b≠0，则a·b≠0；②若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；③若a≠0，由a·b＝a·c可得b＝c；④若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中正确命题的个数是()A．0个B.2个C.3个D.4个解析：①为假命题，因为a与b垂直时，a·b＝0；②为假命题，因为a·b＝0也有可能a与b垂直但均不为零向量；③为假命题，由a≠0，a·b＝a·c，可得b与c在a方向上的射影相等；④为假命题，例如：a⊥b，a⊥c，但b≠c，且a≠0，也能使条件a·b＝a·c成立，所以四个命题均为假命题．答案：A2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B.3C.2D.0解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，故选B.答案：B3．已知向量a，b，且a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，则实数k的值为()A.B.－C.±D.1解析：利用向量的数量积将(3a＋2b)·(ka－b)＝0展开可得12k－18＝0，∴k＝.答案：A4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于()A.B.C.－D.－解析：∵M是BC的中点，∴AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP·AP＝AP2＝2＝，故选A.答案：A5．已知非零向量a，b，若a＋2b和a－2b互相垂直，则＝()A.B.4C.D.2解析：(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，∴|a|＝2|b|，故选D.答案：D6．已知e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)等于________．解析：∵|e1|＝|e2|＝1且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝，∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋4e1·e2＋3e2·e1－2e＝－6＋7e1·e2－2＝－8＋7×＝－.答案：－7．下列命题正确的是________(把正确的序号填上)．①0·a＝0；②(a·b)·c－(c·a)·b＝0；③(b·c)·a－(c·a)·b与c的夹角为90°；④若|a＋b|＝|a－b|，其中a与b不共线，则a⊥b；⑤若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.答案：③④8．已知|a|＝|b|＝6，向量a与b的夹角为.(1)求|a＋b|，|a－b|；(2)求a＋b与a－b的夹角．解：(1)a·b＝6×6×cos＝36×＝18，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋2×18＋36＝108，∴|a＋b|＝6，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝36－2×18＋36＝36，∴|a－b|＝6.(2)a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝0.∴θ＝.[B组技能提升]1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B.等腰三角形C．等腰直角三角形D.等边三角形解析：(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0.所以|AB|＝|AC|.故△ABC是等腰三角形．答案：B2．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()A．－15B.－9C．－6D.0解析：如图所示，连接MN，由BM＝2MA，CN＝2NA可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则BC＝3MN＝3(ON－OM)，由题意可知，OM2＝12＝1，OM·ON＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OM－3OM2＝－3－3＝－6.故选C.答案：C3．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析：a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5，∴a在b方向上的射影为|a|·cos〈a，b〉＝＝.答案：4．边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别为BC，AC的中点，则AD·BE＝________.解析：如图，在△ABC中，AD·BE＝·＝(AB·BC＋AB·BA＋AC·BC＋AC·BA)＝4×4×＋4×4×(－1)＋4×4×＋4×4×＝－6.答案：－65．已知a，b是两个单位向量．(1)若|3a－2b|＝3，试求|3a＋b|的值；(2)若a，b的夹角为60°，试求向量m＝2a＋b与n＝2b－3a的夹角．解：(1)∵a，b是两个单位向量，∴|a|＝|b|＝1，又|3a－2b|＝3，∴9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，即a·b＝.∴|3a＋b|＝＝＝2.(2)∵a，b的夹角为60°，∴a·b＝，|m|＝＝＝＝，|n|＝＝＝＝，∴m·n＝(2a＋b)·(2b－3a)＝2|b|2＋a·b－6|a|2＝－，∴cosθ＝＝＝－，∵0≤θ≤180°，∴夹角θ＝120°.6．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝2，c＝3a＋5b，d＝ma－b.(1)求a·b的值；(2)若c⊥d，求实数m的值．解：(1)a·b＝|a||b|cos60°＝3×2×＝3.(2)c⊥d，∴c·d＝0，即(3a＋5b)·(ma－b)＝0，∴3ma2－3a·b＋5ma·b－5b2＝0，∴27m－9＋15m－20＝0，∴42m＝29，m＝.
