2.1向量的加法课时跟踪检测一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AB＋CA＋BD等于()A．ABB．BCC．CDD．DA解析：向量的加法要注意首尾相连：AB＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋CA＝AD＋CA＝CA＋AD＝CD.答案：C2．下列向量的运算结果为零向量的是()A．BC＋ABB．PM＋MN＋MPC．BC＋CA＋AB＋CDD．MP＋GM＋PQ＋QG解析：∵MP＋PQ＋QG＋GM＝0，∴选D．答案：D3．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋FE＝0C．DE＋DA＝EBD．DA＋DE＝FD解析：FD＋DE＋FE＝FE＋FE＝2FE，∴B错；DE＋DA＝DF＝BE，∴C、D错．答案：A4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可解析：由|a＋b|＝|a|＋|b|知，a与b必共线且方向相同．答案：A5．M为正六边形ABCDEF的中心，O为平面上任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD＋OE＋OF等于()A．3OMB．4OMC．5OMD．6OM解析：∵O为平面上任意一点．∴设O与A重合．OA＋OB＋OC＋OD＋OE＋OF＝AB＋AC＋AD＋AE＋AF＝AB＋AF＋AC＋AD＋AE＝AM＋(AM＋AB)＋2AM＋AF＋AM＝5AM＋AB＋AF＝6AM.答案：D6．下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①错，a＋b＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A、B、C共线时也满足；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.答案：A二、填空题7．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，则OA＋AB＋BC＋CD＝________.解析：原式＝(OA＋AB)＋(BC＋CD)＝OB＋BD＝OD.答案：OD8．矩形ABCD中，|AB|＝，|BC|＝1，则向量AB＋AD＋AC的长度等于________．解析：因为ABCD为矩形，所以AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC＝AC＋AC＝2AC，如图，所以|AB＋AD＋AC|＝2|AC|＝2＝4.答案：49．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．①|AB＋AC|＝|BC|；②|AB＋BC|＝|CA|；③|AB＋CA|＝|BC|；④|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.解析：∵∠A＝90°，由勾股定理可知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴④正确．以AB和AC为邻边作▱ABDC，可知AB＋AC＝AD，|AD|＝|BC|，∴|AB＋AC|＝|BC|，∴①正确．∵|AB＋BC|＝|AC|，AC与CA为相反向量，模相等，②正确．同理，③正确．答案：①②③④三、解答题10．如图所示，D、E、F分别是△ABC中BC、CA、AB的中点，P是△ABC内任意一点，求证：PD＋PE＋PF＝PA＋PB＋PC.证明：PD＝PB＋BD，PE＝PC＋CE，PF＝PA＋AF，BD＋CE＋AF＝DC＋CE＋AF＝DE＋AF.∵DE＝FA，∴BD＋CE＋AF＝DE＋AF＝0，∴PD＋PE＋PF＝PB＋BD＋PC＋CE＋PA＋AF＝PA＋PB＋PC＋(BD＋CE＋AF)＝PA＋PB＋PC＋0＝PA＋PB＋PC.11．在长江某渡口上，江水以2km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt△ABC中，|BC|＝|v1|＝2.|AB|＝|v2|＝2，∴|AC|＝|v|＝＝＝4.tanθ＝＝＝.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4km/h，方向为东偏北60°.12．求证：|a|＋|b|≥|a＋b|.证明：(1)当|a|＝0或|b|＝0时，显然成立．(2)当|a|≠0，且|b|≠0时，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b.若a∥b且方向相同，则|AB|＋|BC|＝|AC|，即|a|＋|b|＝|a＋b|；若a∥b且方向相反，则|AB|＋|BC|＞|AC|，即|a|＋|b|＞|a＋b|.若a、b不共线，则|AB|＋|BC|＞|AC|，即|a|＋|b|＞|a＋b|.综上所述|a|＋|b|≥|a＋b|.13.如图所示，在正六边形ABCDEF中，O是中心，AB＝a，AF＝b，试用a，b分别表示AC，AD，AE.解：在▱AFOB中，∵AF＝b，AB＝a，∴AO＝a＋b.在▱AOCB中，AC＝AO＋AB＝a＋b＋a＝2a＋b.由正六边形的性质，有AD＝2AO＝2a＋2b，AE＝AF＋AO＝b＋a＋b＝a＋2b.
