1.3.1圆幂定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝()A.B.C.D.【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝＝.【答案】A2.如图1313，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，则CD和EF分别为()图1313A.8和7B.7和C.7和8D.8和【解析】∵PA·PB＝PC2，∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.∵PE·PF＝PC2，∴PF＝，∴EF＝＋5＝.【答案】D3.如图1314，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为()图1314A.1B.C.D.【解析】观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝.【答案】C4.如图1315所示，四边形ABCD内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是()图1315A.60B.40C.35D.50【解析】由圆内接四边形的性质定理，可得△PAD与△PCB相似.∴＝，即＝，解得PA＝45.若设过点P的⊙O的切线长为x，则x2＝PA·PB＝45×80，∴x＝60，故选A.【答案】A二、填空题(每小题5分，共10分)5.(天津高考)如图1316，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________.【导学号：61650018】图1316【解析】由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，由于AF＝2FB，可解得BF＝1，所以BE＝.由切割线定理得CE2＝EB·EA＝，即CE＝.【答案】6.如图1317，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是________.图1317【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC＝∠ABC.∵AC是∠PAB的平分线，∴∠BAC＝∠PAC.∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC＝5，由切割线定理，可得AQ2＝QB·QC，∴62＝QB·(QB＋5)，解得QB＝4.∵∠QAB＝∠QCA，∴△QAB∽△QCA，∴＝，∴＝，解得AB＝.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1318，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：图1318(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.【证明】(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.8.如图1319，圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：PF＝PQ.图1319【证明】∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC.∵PF∥BC，∴∠AFP＝∠ABC.∴∠AFP＝∠FDP.∵∠APF＝∠FPD，∴△APF∽△FPD.∴＝.∴PF2＝PA·PD.∵PQ与圆相切，∴PQ2＝PA·PD.∴PF2＝PQ2.∴PF＝PQ.[能力提升]9.如图1320，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长.图1320【解】如下图所示，连接OA，OB.∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝，∠APO＝∠APB＝，在Rt△PAO中，AP＝PO·cos＝4×＝2(cm)，OA＝PO＝2(cm)，∴PB＝2(cm).∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝，∴lAB＝∠AOB·R＝×2＝π(cm)，∴阴影部分的周长为PA＋PB＋lAB＝2＋2＋π＝cm.
