2．4向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积，记作____________，即________________．答案：|a||b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ2．两非零向量a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影是________，a·b的几何意义为__________________________________________________________．当θ为________时，b在a上投影为正；当θ为________时，b在a上的投影为负；当θ为________时，b在a上的投影为零．答案：|a|cosθ|b|cosθa的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积锐角钝角90°3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝________．答案：|a||b|－|a||b||a|24．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________．答案：|a·b|≤|a|·|b|5．向量数量积的运算律为a·b＝________；(λa)·b＝________＝________；(a＋b)·c＝________．答案：b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．答案：x1x2＋y1y27．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么|a|＝________________________________________，这是平面内两点间的距离公式．答案：8．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________．答案：x1x2＋y1y2＝019．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a、b的夹角为θ，则有cosθ＝________________．答案：数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．特别提示：(1)当0≤θ＜时，cosθ＞0，从而a·b＞0；当＜0≤π时，cosθ＜0，从而a·b＜0；当θ＝时，cosθ＝0，从而a·b＝0.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．数量积的性质及运算律1．数量积的重要性质．设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角．(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝＝，a·a也可记作a2.(4)|a·b|≤|a|·|b|.2．数量积的运算律．已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．说明：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.2(3)对于实数a、b、c，有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a、b、c而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．向量的模设a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致．向量的夹角设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2或a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，故cosθ＝，当θ＝90°时，cosθ＝0，即x1x2＋y1y2＝0，所以a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.1．i，j是互相垂直的单位向量，a是任一向量，则下列各式不成立的是()A．a·a＝|a|2B．i·i＝1C．i·j＝0D．a·j＝a答案：D2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．16解析： ∠C＝90°，∴AC...
